Cara 2 Pembahasan integral UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika D daerah dikuadran I yang dibatasi oleh parabola $ y^2 = 2x $ dan garis $ x - y = 4 $, maka luas D = ....
A). $ 40\sqrt{2} \, $ B). $ 40 \, $ C). $ \frac{64\sqrt{2}}{3} \, $ D). $ \frac{64}{3} \, $ E). $ 13\frac{1}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yaitu $x = f(y) $ dan $ x = g(y) $ dengan batas ada di sumbu Y yaitu $ a \leq y \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, [ f(y) - g(y)] dx $
(kurva kanan $ - $ kurva kiri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar grafik :
-). Kurva $ y^2 = 2x \rightarrow x = \frac{1}{2}y^2 $
Karena persamaannya $ x = ay^2 $ , maka kurva menghadap kekanan dengan $ a = \frac{1}{2} > 0 $, serta memotong sumbu Y di $ x = 0 \rightarrow y^2 = 2.0 \rightarrow y = 0 $.
-). garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ memotong sumbu-sumbu di $ (0,-4) $ dan $ (4,0) $. 

-). Titik potong kedua kurva :
substitusi garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = 2x \\ y^2 & = 2(y + 4) \\ y^2 -2y - 8 & = 0 \\ (y + 2)(y-4) & = 0 \\ y = -2 \vee y & = 4 \\ y = -2 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = -2 + 4 = 2 \\ y = 4 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua kurva : $ (2,-2) $ dan $ (8, 4) $.
*). Menentukan luas daerah yang diarsir :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^4 [(y + 4) - \frac{1}{2}y^2 ] dy \\ & = [ \frac{1}{2}y^2 + 4y - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}y^3 ]_0^4 \\ & = [\frac{1}{2}.4^2 + 4.4 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.4^3 ] - 0 \\ & = 8 + 16 - \frac{32}{3} = 24 - \frac{32}{3} \\ & = \frac{72}{3} - \frac{32}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 13\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar