Pembahasan integral UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika D daerah dikuadran I yang dibatasi oleh parabola $ y^2 = 2x $ dan garis $ x - y = 4 $, maka luas D = ....
A). $ 40\sqrt{2} \, $ B). $ 40 \, $ C). $ \frac{64\sqrt{2}}{3} \, $ D). $ \frac{64}{3} \, $ E). $ 13\frac{1}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ dengan batas ada di sumbu X yaitu $ a \leq x \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, f(x) dx $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = f(x) $ dan $ y = g(x) $ dengan batas ada di sumbu X yaitu $ a \leq x \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas $ - $ kurva bawah)
*). RUmus integral : $ \int (ax)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{1}{n+1}(ax)^{n+1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar grafik :
-). Kurva $ y^2 = 2x \rightarrow y = (2x)^\frac{1}{2} $
Karena persamaannya $ x = ay^2 $ , maka kurva menghadap kekanan dengan $ a = \frac{1}{2} > 0 $, serta memotong sumbu Y di $ x = 0 \rightarrow y^2 = 2.0 \rightarrow y = 0 $.
-). garis $ x - y = 4 \rightarrow y = x - 4 $ memotong sumbu-sumbu di $ (0,-4) $ dan $ (4,0) $. 

-). Titik potong kedua kurva :
substitusi garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = 2x \\ y^2 & = 2(y + 4) \\ y^2 -2y - 8 & = 0 \\ (y + 2)(y-4) & = 0 \\ y = -2 \vee y & = 4 \\ y = -2 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = -2 + 4 = 2 \\ y = 4 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua kurva : $ (2,-2) $ dan $ (8, 4) $.
*). Untuk memudahkan penghitungan, kita bagi daerah D menjadi dua yaitu A dan B.
*). Menentukan luas daerah yang diarsir :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \text{Luas A } + \text{ Luas B} \\ & = \int \limits_0^4 (2x)^\frac{1}{2} dx + \int \limits_4^8 [(2x)^\frac{1}{2} - (x - 4)] dx \\ & = \int \limits_0^4 (2x)^\frac{1}{2} dx + \int \limits_4^8 [(2x)^\frac{1}{2} - x + 4] dx \\ & = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} (2x)^\frac{3}{2}|_0^4 + [ \frac{1}{2}.\frac{2}{3}(2x)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 + 4x]_4^8 \\ & = \frac{1}{3} (2x)^\frac{3}{2}|_0^4 + [ \frac{1}{3}(2x)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 + 4x]_4^8 \\ & = \frac{1}{3} (2.4)^\frac{3}{2}- 0 + [\frac{1}{3}(2.8)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}.8^2 + 4.8] - [\frac{1}{3}(2.4)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}.4^2 + 4.4] \\ & = \frac{1}{3} (2.4)^\frac{3}{2} + \frac{1}{3}(16)^\frac{3}{2} - 32 + 32 - \frac{1}{3}(2.4)^\frac{3}{2} + 8 - 16 \\ & = \frac{1}{3}.64 - 8 = \frac{64}{3} - \frac{24}{3} \\ & = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 13\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar