Pembahasan Turunan UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ x^2 + kx + k = 0 $ , maka nilai $ k $ yang menjadikan $ x_1^3 + x_2^3 \, $ mencapai maksimum adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum atau minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_1(x_1+x_2) $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + kx + k = 0 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-k}{1} = - k $ dan $ x_1x_2 = \frac{k}{1} = k $
*). Menentukan bentuk $ x_1^3 + x_2^3 $ dan syarat nilai maksimumnya :
$ \begin{align} x_1^3 + x_2^3 & = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_1(x_1+x_2) \\ x_1^3 + x_2^3 & = (-k)^3 - 3k(-k) \\ f(k) & = -k^3 + 3k^2 \\ f^\prime (k) & = -3k^2 + 6k \\ -3k^2 + 6k & = 0 \\ 3k(-k+2) & = 0 \\ k = 0 \vee k & = 2 \end{align} $
*). cek nilai $ k $ :
$ \begin{align} f(k) & = -k^3 + 3k^2 \\ k = 0 \rightarrow f(0) & = -0^3 + 3.0^2 = 0 \\ k = 2 \rightarrow f(2) & = -2^3 + 3.2^2 = 4 \end{align} $
Jadi, $ x_1^3 + x_2^3 $ akn maksimum pada saat $ k = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar