Cara 2 Pembahasan Singgung UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dimana titiknya ada di luar lingkaran bisa menggunakan koordinat kutub atau polar.
*). Persamaan garis kutub sama dengan persamaan BAGI ADIL, dengan langkah-langkah :
1). Tentukan persamaan BAGI ADIL,
2). Substitusi titik di luar lingkarannya ke persamaan BAGI ADIL, sehingga kita peroleh persamaan kutub,
3). Substitusi persamaan kutub ke persamaan lingkaran, sehingga kita peroleh titik potong antara garis kutub dan lingkaran dimana kedua titik tersebut adalah titik singgung lingkaran,
4). Substitusi titik singgung lingkaran ke persamaan BAGI ADIL, sehingga kita kiperoleh persamaan garis singgung lingkarannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan BAGI ADIL lingkaran : $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x_1.x + y_1.y + 2.\frac{x_1 + x}{2} - 19 & = 0 \\ x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 & = 0 \end{align} $
*). substitusi titik $ (x_1,y_1) = (1,6) $ ke persamaan BAGI ADIL :
$ \begin{align} x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 & = 0 \\ 1.x + 6y + (1 + x) - 19 & = 0 \\ 2x + 6y - 18 & = 0 \\ x + 3y - 9 & = 0 \\ x & = -3y + 9 \end{align} $
*). Substitusi $ x = -3y + 9 $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ ( -3y + 9)^2 + y^2 + 2( -3y + 9) - 19 & = 0 \\ 10y^2 - 60y + 80 & = 0 \\ y^2 - 6y + 8 & = 0 \\ (y - 2)(y-4) & = 0 \\ y = 2 \vee y & = 4 \end{align} $
Untuk $ y = 2 \rightarrow x = -3y + 9 = -3.2 + 9 = 3 $
Untuk $ y = 4 \rightarrow x = -3y + 9 = -3.4 + 9 = -3 $
Sehingga titik singgungnya : $ (3,2) $ dan $ ( -3, 4) $
*). Substitusi titik singgung ke persamaan
BAGI ADIL $ x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 = 0 $ :
$ \begin{align} (x_1,y_1) & = (3,2) \rightarrow \\ 3.x + 2.y + (3 + x) - 19 & = 0 \\ 3x + 2y + 3 + x - 19 & = 0 \\ 4x + 2y - 16 & = 0 \\ 2x + y - 8 & = 0 \\ (x_1,y_1) & = (-3,4) \rightarrow \\ -3.x + 4.y + (-3 + x) - 19 & = 0 \\ -2x + 4y - 22 & = 0 \\ -x + 2y - 11 & = 0 \\ x - 2y + 11 & = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar