Pembahasan Singgung Lingkaran UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $ :
*). Garis singgung melalui titik $ T (1,6) $, kita substitusi :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ 6 & = m.1 + c \\ c & = 6 - m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + 6 - m $
*). Substitusi $ y = mx + 6 - m $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x^2 + (mx + 6 - m)^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x^2 + m^2x^2 + 12mx - 2m^2x + 36 - 12m + m^2 + 2x - 19 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + (-2m^2 + 12m + 2)x + (m^2 - 12m + 17) & = 0 \\ a = m^2 + 1, b = -2m^2 + 12m + 2 , c = m^2 - 12m & + 17 \end{align} $
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & = 0 \\ (-2m^2 + 12m + 2)^2 - 4.(m^2 + 1).(m^2 - 12m + 17) & = 0 \\ 64m^2 + 96m - 64 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ (2m - 1)(m + 2) & = 0 \\ m = \frac{1}{2} \vee m & = -2 \end{align} $
*). Substitusi gradien ke garis singgung $ y = mx + 6 - m $ :
$ \begin{align} m = \frac{1}{2} & \vee m = -2 \\ y = \frac{1}{2}x + 6 - \frac{1}{2} & \vee y = -2x + 6 - (-2) \\ 2y = x + 12 - 1 & \vee y = -2x + 6 + 2 \\ 2y = x + 11 & \vee y = -2x + 8 \\ x - 2y + 11 = 0 & \vee 2x + y - 8 = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar