Cara 3 Pembahasan Singgung UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
-). Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
-). Jari-jari lingkaran : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya :
$ y - b = m(x - a) + r\sqrt{m^2 + 1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $
$ A = 2, B = 0, C = -19 $
-). Titik pusat lingkaran
$ (a,b) = \left( -\frac{2}{2}, -\frac{}{2} \right) = (-1,0) $
-). Jari-jari :
$ r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 - (-19) } = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $
*). persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} y - b & = m(x - a) + r\sqrt{m^2 + 1} \\ y - 0 & = m(x - (-1)) + 2\sqrt{5}\sqrt{m^2 + 1} \\ y & = m(x +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \end{align} $
*). Substitusi titik $ T(1,6) $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} y & = m(x +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ 6 & = m(1 +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ 6 & = 2m + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ -2m + 6 & = 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ -m + 3 & = \sqrt{5m^2 + 5} \\ (-m + 3)^2 & = (\sqrt{5m^2 + 5})^2 \\ m^2 - 6m + 9 & = 5m^2 + 5 \\ 4m^2 + 6m - 4 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ (2m - 1)(m + 2) & = 0 \\ m = \frac{1}{2} \vee m & = -2 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ m $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = \frac{1}{2} & \rightarrow \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2\sqrt{5((\frac{1}{2} )^2 + 1)} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2\sqrt{5(\frac{5}{4} )} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2. \frac{5}{2} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 5 \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y & = x +1 + 10 \\ 0 & = x - 2y + 11 \\ m = -2 & \rightarrow \\ y & = -2(x +1) + 2\sqrt{5((-2)^2 + 1)} \\ y & = -2x - 2 + 2\sqrt{25} \\ y & = -2x - 2 + 2.5 \\ y & = -2x - 2 + 10 \\ y & = -2x + 8 \\ 0 & = 2x + y - 8 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar