Pembahasan Lingkaran UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran melalui titik $ A(-1,2) $ dan $ B(3,8) $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 2x + 10y + 13 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 2x - 10y - 13 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 10x -2y + 13 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 - 2x + 10y 13 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran titik pusat $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, ( x- a)^2 + ( y - b)^2 = r^2 $
*). Titik tengah antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
$ \, \, \, \, \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $
*). Jarak antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran melalui titik $ A(-1,2) $ dan $ B(3,8) $, artinya titik A dan B sebagai ujung-ujung diameternya, sehingga :
-). panjang diameternya adalah jarak titik A ke B :
$ \begin{align} d & = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\ & = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (8 - 2)^2} \\ & = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \end{align} $
jari-jarinya : $ r = \frac{1}{2}d = \frac{1}{2}.2\sqrt{13} = \sqrt{13} $
-). Titik pusatnya adalah titik tengan antara titik A dan B :
$ \begin{align} (a,b) & = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-1 + 3}{2} , \frac{2 + 8}{2} \right) \\ & = \left( \frac{2}{2} , \frac{10}{2} \right) = \left( 1 , 5 \right) \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$ \begin{align} ( x- a)^2 + ( y - b)^2 & = r^2 \\ ( x- 1)^2 + ( y - 5)^2 & = (\sqrt{13})^2 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 & = 13 \\ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar