Pembahasan Persamaan Logaritma UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) = 1 + {}^2 \log x $ adalah ....
A). $ {}^5 \log 2 \, $ B). $ {}^2 \log 5 \, $ C). $ \log \frac{2}{5} \, $
D). $ -1 \, $ atau $ 5 $
E). $ -5 \, $ atau $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen :
$ a^{mn} = (a^n)^m $ dan $ a^{m+n} = a^m.a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x > 0 \, $ (bernilai positif) :
$ \begin{align} {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = 1 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = {}^2 \log 2x \\ {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = 2x \\ 2^{x+2} + 5 & = 2^{2x} \\ 2^2.2^{x } + 5 & = (2^x)^2 \\ 4p + 5 & = p^2 \\ p^2 - 4p - 5 & = 0 \\ (p + 1)(p-5) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 5 \\ p = -1 \rightarrow & \, \text{(tidak memenuhi)} \\ p = 5 \rightarrow 2^x & = 5 \\ x & = {}^2 \log 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ x = {}^2 \log 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar