Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui suatu persamaan kuadrat dengan koefisien bulat akar-akarnya adalah $ \cos 72^\circ $ dan $ \cos 144^\circ $. Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah ....
A). $ x^2 + 2x - 4 = 0 \, $
B). $ x^2 - 4x + 2 = 0 $
C). $ 2x^2 + 4x - 1 = 0 $
D). $ 4x^2 + 2x - 1 = 0 $
E). $ 4x^2 - 2x + 1 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun Persamaan Kuadrat :
$ \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
dengan HJ = hasil jumlah dan HK = hasil kali.
*). Beberapa rumus Trigonometri :
1). $ \cos A . \sin A = \frac{1}{2}\sin 2A $
2). $ \cos ( 180^\circ - x) - \cos x $
3). $ \sin (180^\circ - x ) = \sin x $
4). $ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2}. \cos \frac{A-B}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai trigonometri :
$ \cos 108^\circ = \cos ( 180^\circ - 72^\circ) - \cos 72^\circ $
$ \sin 144^\circ = \sin (180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$
$ \cos 144^\circ = \cos (180^\circ - 36^\circ) = -\cos 36^\circ$
Nilai $ \cos 72^\circ . \cos 36^\circ $ :
$ \begin{align} t & = \cos 72^\circ . \cos 36^\circ \\ & = \cos 72^\circ . \cos 36^\circ \times \frac{ \sin 36^\circ}{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \cos 72^\circ . (\cos 36^\circ. \sin 36^\circ )}{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \cos 72^\circ . \frac{1}{2}. \sin 2.36^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{2}. \cos 72^\circ . \sin 72^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2. 72^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{4} . \sin 144^\circ }{\sin 36^\circ} = \frac{ \frac{1}{4} \sin 36^\circ }{\sin 36^\circ} = \frac{1}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ \cos 72^\circ . \cos 36^\circ = \frac{1}{4} $
*). Menyusun persamaan kuadrat dengan akar-akar $ \cos 72^\circ $ dan $ \cos 144^\circ $
*). Menentukan HJ dan HK :
$ \begin{align} HJ & = \cos 144^\circ + \cos 72^\circ \\ & = 2[\cos \frac{144^\circ + 72^\circ}{2} . \cos \frac{144^\circ - 72^\circ}{2} ] \\ & = 2\cos 108^\circ . \cos 36^\circ \\ & = - 2\cos 72^\circ . \cos 36^\circ \\ & = - 2. \frac{1}{4} = - \frac{1}{2} \\ HK & = \cos 144^\circ . \cos 72^\circ \\ & = -\cos 36^\circ . \cos 72^\circ \\ & = -\frac{1}{4} \end{align} $
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$ \begin{align} x^2 - (HJ)x + HK & = 0 \\ x^2 - (-\frac{1}{2})x + (-\frac{1}{4}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4x^2 + 2x - 1 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ 4x^2 + 2x - 1 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar