Pembahasan Matriks Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Deret $ S_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 $ merupakan deret aritmetika dan $ u_1 > u_2 $. Jika determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ - 2 $ dan $ S_4 = 2 $, maka $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} = .... $
A). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\, $ B). $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\, $ C). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $
D). $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $ E). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan Matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Barisan aritmetika :
-). Rumus suku ke-$n $ : $ u_n = a + (n-1)b $
-). Rumus $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun Persamaan :
-). Persamaan pertama,
$ \begin{align} S_4 & = 2 \\ \frac{4}{2}(2a + 3b) & = 2 \\ 2(2a + 3b) & = 2 \\ 2a + 3b & = 1 \\ a & = \frac{1-3b}{2} \end{align} $
-). Persamaan kedua, determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ - 2 $ dan substitusi $ a = \frac{1-3b}{2} $
$ \begin{align} u_1.u_4 - u_2.u_3 & = -2 \\ a(a+3b) - (a+b)(a+2b) & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}(\frac{1-3b}{2}+3b) - (\frac{1-3b}{2}+b)(\frac{1-3b}{2}+2b) & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}.\frac{1-3b + 6b}{2} - \frac{1-3b + 2b}{2}.\frac{1-3b + 4b}{2} & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}.\frac{1+3b}{2} - \frac{1-b}{2}.\frac{1+b}{2} & = -2 \\ \frac{1-9b^2}{4} - \frac{1-b^2}{4} & = -2 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 1-9b^2 - (1-b^2) & = -8 \\ -8b^2 & = -8 \\ b^2 & = 1 \\ b & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{align} $.
Karena $ u_1 > u_2 $, maka $ b = -1 $ yang memenuhi, sehingga
$ a = \frac{1-3b}{2} = \frac{1-3(-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
*). Menentukan suku-sukunya :
$ \begin{align} u_1 & = a = 2 \\ u_2 & = a + b = 2 + (-1) = 1 \\ u_3 & = a + 2b = 2 + 2(-1) = 0 \\ u_4 & = a + 3b = 2 + 3(-1) = -1 \end{align} $.
*). Menentukan invers matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} & = \frac{1}{2.(-1) - 1.0} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $.
Jadi, hasil $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar