Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2003. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2003. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Rata-rata UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai rata-rata ujian matematika dari 43 siswa adalah 56. Jika nilai ujian dua siswa, yaitu Tuti dan Tono, digabungkan dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-rata ujian matematika menjadi 55. Apabila Tuti mendapat nilai 25, maka Tono mendapat nilai ....
A). $ 40 \, $ B). $ 42 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 46 \, $ E). $ 48 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Misalkan total nilai 43 orang sebelumnya adalah $ A_{43} $ .
-). Nilai rata-rata ujian matematika dari 43 siswa adalah 56
$ \frac{A_{43}}{43} = 56 \rightarrow A_{43} = 43 \times 56 = 2408 $
*). Ditambahkan dua orang sehingga menjadi 45 orang dengan rata-rata 55 :
$ \begin{align} \text{Rata-rata } & = 55 \\ \frac{A_{43} + \text{ Tuti } + \text{ Tono }}{45} & = 55 \\ \frac{2408 + 25 + \text{ Tono }}{45} & = 55 \\ 2433 + \text{ Tono } & = 55 \times 45 \\ 2433 + \text{ Tono } & = 2475 \\ \text{ Tono } & = 42 \end{align} $
Jadi, nilai Tono adalah $ 42 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Modus dari data dalam tabel berikut ini adalah ....
A). $ 72,5 \, $ B). $ 72,75 \, $ C). $ 73,5 \, $ D). $ 73,75 \, $ E). $ 74,5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus modus :
Modus $ = T_b + \frac{d_1}{d_1+d_2}c $
Keterangan :
$ T_b = \, $ tepi bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi terbanyak)
$ d_1 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
$ d_2 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
$ c = \, $ panjang kelas

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kelas modus terletak pada interval 71 - 75.
$ T_b = 71 - 0,5 = 70,5 $
$ d_1 = 18 - 12 = 6 $
$ d_2 = 18 - 14 = 4 $
$ c = 75 - 71 + 1 = 5 $
*). Menentukan nilai modus :
$ \begin{align} \text{Modus } & = T_b + \frac{d_1}{d_1+d_2}c \\ & = 70,5 + \frac{6}{6+4}.5 \\ & = 70,5 + \frac{30}{10} \\ & = 70,5 + 3 \\ & = 73,5 \end{align} $
Jadi, nilai modusnya adalah $ 73,5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Matriks UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Untuk suatu $ \alpha $ , nilai $ x $ yang memenuhi $\left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \, $ adalah ....
A). $ x = \sin \alpha, \, y = \cos \alpha $
B). $ x = \cos \alpha, \, y = \sin \alpha $
C). $ x = 0 , \, y = 1 $
D). $ x = 1 , \, y = 0 \, $
E). $ x = 1 , \, y = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers : $ AX=C \rightarrow X = A^{-1}.C $
*). Perkalian matriks = baris $ \times $ kolom
*). identitas trigonometri :
$ \cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} &\left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right)^{-1}. \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{\cos \alpha . (-\cos \alpha) - \sin \alpha . \sin \alpha } \left( \begin{matrix} -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha } \left( \begin{matrix} -\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ -\sin \alpha\cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -(\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) } \left( \begin{matrix} -(\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -(1) } \left( \begin{matrix} -(1) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = -1. \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya nilai $ x = 1 $ dan $ y = 0 $
Jadi, bentuk $ M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika M matriks berordo $ 2 \times 2 $ dan $ M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) $, maka matriks $ M^2 $ adalah ....
A). $\left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & -5 \end{matrix} \right)\, $ B). $\left( \begin{matrix} 9 & 4 \\ 1 & 25 \end{matrix} \right)\, $ C). $\left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right)\, $
D). $\left( \begin{matrix} 25 & -4 \\ -2 & 15 \end{matrix} \right)\, $ E). $\left( \begin{matrix} 27 & -8 \\ -4 & 15 \end{matrix} \right)\, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers : $ AB=C \rightarrow A = C.B^{-1} $
*). Perkalian matriks = baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks M :
$ \begin{align} M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \\ M & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right). \frac{1}{2.3 - 1.4}\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right). \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ M^2 $ :
$ \begin{align} M^2 & = M.M \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bentuk $ M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Suku pertama, pembanding dan suku ke-$(n-1)$ dari deret geometri masing-masing adalah 1, 3 dan 243. Jumlah $ n $ suku pertamanya sama dengan ....
A). $ 364 \, $ B). $ 729 \, $ C). $ 1093 \, $ D). $ 2187 \, $ E). $ 3279 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan dan deret geometri :
-). Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
-). Rumus $ S_n $ : $ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ a = 1 , r = 3 $ dan $ u_{n-1} = 243 $ :
*). Menentukan nilai $ n $ :
Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
$ \begin{align} u_{n-1} & = 243 \\ a.r^{(n-1) -1} & = 243 \\ 1.3^{n-2} & = 3^5 \\ 3^{n-2} & = 3^5 \\ n-2 & = 5 \\ n & = 7 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ S_7 $ :
$ \begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \\ S_7 & = \frac{1.(3^7 - 1)}{3 - 1} \\ & = \frac{(2187 - 1)}{2} \\ & = \frac{ 2186}{2} \\ & = 1093 \end{align} $
Jadi, jumlah $ n $ suku pertamanya $ = 1093 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p , q , \, $ dan $ r $ membentuk suku-suku deret aritmetika, maka $ p^2 + q^2 + r^2 = .... $
A). $ \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} \, $
B). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{5} \, $
C). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{3} \, $
D). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{2} \, $
E). $ 5p^2 + 2pr + 5r^2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika yaitu selisih dua suku berurutan sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ p , q, r $ membentuk barisan aritmetika, selisih dua suku sama :
$ \begin{align} q - p & = r - q \\ 2q & = p + r \\ q & = \frac{p+r}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p^2 + q^2 + r^2 $ :
$ \begin{align} p^2 + q^2 + r^2 & = p^2 + \left( \frac{p+r}{2} \right)^2 + r^2 \\ & = p^2 + \left( \frac{p+r}{2} \right)^2 + r^2 \\ & = p^2 + \frac{(p+r)^2}{2^2} + r^2 \\ & = p^2 + \frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} + r^2 \\ & = \frac{4p^2}{4} + \frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} + \frac{4r^2}{4} \\ & = \frac{4p^2 + p^2 + 2pr + r^2 + 4r^2}{4} \\ & = \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Aplikasi Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah semua bilangan ganjil di antara bilangan 20 dan 60 adalah ....
A). $ 750 \, $ B). $ 775 \, $ C). $ 800 \, $ D). $ 825 \, $ E). $ 850 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmetika :
-). Rumus suku ke-$n $ : $ u_n = a + (n-1)b $
-). Rumus $ S_n = \frac{n}{2}(a + u_n) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bilangan ganjil antara 20 dan 60 yaitu :
21, 23, 25, ..., 59
Barisan ini membentuk barisan aritmetika dengan $ a = 21 $ dan $ b = 2 $
*). Menentukan nilai banyak suku dengan suku terakhir 59 :
$ \begin{align} u_n & = 59 \\ a + (n-1)b & = 59 \\ 21 + (n-1)2 & = 59 \\ 21 + 2n - 2 & = 59 \\ 2n + 19 & = 59 \\ 2n & = 40 \\ n & = 20 \end{align} $
Artinya ada 20 suku, sehingga untuk jumlah semuanya = $ S_{20} $
*). Menentukan jumlah semua bilangan :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(a + u_n) \\ S_{20} & = \frac{20}{2}(a + u_{15}) \\ & = \frac{20}{2}(21 + 59) \\ & = 10.(80) = 800 \end{align} $
Jadi, jumlah bilangannya adalah 800 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Bangun Datar UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $ 2^{x+2} $. Jika panjang dua sisi lainnya adalah 4 dan $ 2^{2x+1} $ , maka nilai $ x $ yang memenuhi terletak pada interval ....
A). $ -1 < x < 0 \, $
B). $ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3} \, $
C). $ 0 < x < 1 \, $
D). $ \frac{2}{3} < x < 2 \, $
E). $ 1 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras
$ \, \, \, \, \, \, a^2 + b^2 = c^2 $
dengan $ c $ sebagai sisi miringnya.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^{m +n} = a^m . a^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sisi miring $ c = 2^{x+2} $ dan sisi lainnya $ a = 4 , b = 2^{2x+1} $ :
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = c^2 \\ 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x} .2^2 & = 2^{2x}. 2^4 \\ 16 + (2^{2x})^2 .4 & = 2^{2x}. 16 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4 + (2^{2x})^2 & = 2^{2x}. 4 \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } p = 2^{2x} ) \\ 4 + p^2 & = 4p \\ p^2 - 4p + 4 & = 0 \\ (p - 2)^2 & = 0 \\ (p - 2) & = 0 \\ p & = 2 \\ 2^{2x} & = 2 \\ 2^{2x} & = 2^1 \\ 2x & = 1 \\ x & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ x = \frac{1}{2} $ yang ada pada interval $ 0 < x < 1 $.
Jadi, nilai $ x $ ada pada interval $ 0 < x < 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Deret $ S_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 $ merupakan deret aritmetika dan $ u_1 > u_2 $. Jika determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ - 2 $ dan $ S_4 = 2 $, maka $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} = .... $
A). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\, $ B). $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\, $ C). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $
D). $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $ E). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan Matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Barisan aritmetika :
-). Rumus suku ke-$n $ : $ u_n = a + (n-1)b $
-). Rumus $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun Persamaan :
-). Persamaan pertama,
$ \begin{align} S_4 & = 2 \\ \frac{4}{2}(2a + 3b) & = 2 \\ 2(2a + 3b) & = 2 \\ 2a + 3b & = 1 \\ a & = \frac{1-3b}{2} \end{align} $
-). Persamaan kedua, determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ - 2 $ dan substitusi $ a = \frac{1-3b}{2} $
$ \begin{align} u_1.u_4 - u_2.u_3 & = -2 \\ a(a+3b) - (a+b)(a+2b) & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}(\frac{1-3b}{2}+3b) - (\frac{1-3b}{2}+b)(\frac{1-3b}{2}+2b) & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}.\frac{1-3b + 6b}{2} - \frac{1-3b + 2b}{2}.\frac{1-3b + 4b}{2} & = -2 \\ \frac{1-3b}{2}.\frac{1+3b}{2} - \frac{1-b}{2}.\frac{1+b}{2} & = -2 \\ \frac{1-9b^2}{4} - \frac{1-b^2}{4} & = -2 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 1-9b^2 - (1-b^2) & = -8 \\ -8b^2 & = -8 \\ b^2 & = 1 \\ b & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{align} $.
Karena $ u_1 > u_2 $, maka $ b = -1 $ yang memenuhi, sehingga
$ a = \frac{1-3b}{2} = \frac{1-3(-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
*). Menentukan suku-sukunya :
$ \begin{align} u_1 & = a = 2 \\ u_2 & = a + b = 2 + (-1) = 1 \\ u_3 & = a + 2b = 2 + 2(-1) = 0 \\ u_4 & = a + 3b = 2 + 3(-1) = -1 \end{align} $.
*). Menentukan invers matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} & = \frac{1}{2.(-1) - 1.0} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $.
Jadi, hasil $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ \frac{2x-1}{3x+2} \geq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{4} \leq x \leq -\frac{2}{3} \, $
B). $ \frac{2}{3} < x \leq \frac{5}{4} \, $
C). $ - \frac{2}{3} < x \leq \frac{5}{4} \, $
D). $ x \leq -\frac{5}{4} \, $ atau $ x > -\frac{2}{3} $
E). $ x < -\frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq \frac{5}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akar, jika bentuk pecahan maka tentukan akar-akar pembilang dan penyebutnya
2). Buat garis bilangan dan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerahnya,
Jika $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika $ < 0 $ , maka arsir yang negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} \frac{2x-1}{3x+2} & \geq 2 \\ \frac{2x-1}{3x+2} - 2 & \geq 0 \\ \frac{2x-1}{3x+2} - \frac{2(3x+2)}{3x+2} & \geq 0 \\ \frac{2x-1}{3x+2} - \frac{6x + 4}{3x+2} & \geq 0 \\ \frac{-4x - 5}{3x+2} & \geq 0 \end{align} $.
-). AKar-akarnya :
$ -4x - 5 = 0 \rightarrow x = - \frac{5}{4} $
$ 3x + 2 = 0 \rightarrow x = - \frac{2}{3} $
-). Garis bilangannya :
gambar 1.
Karena pecahan, maka akar penyebut selalu tidak ikut dan yang diminta $ \geq 0 $ sehingga solusinya $ - \frac{5}{4} \leq x < - \frac{2}{3} $ .
Jadi, Penyelesaiannya adalah $ - \frac{5}{4} \leq x < - \frac{2}{3} . \, \heartsuit $
(tidak ada opsion yang tepat).

Pembahasan Program Linear UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum dari $ F = 6x + 10y $ yang memenuhi
$ \begin{align} & x + y \leq 10 \\ & x + 2y \leq 10 \\ & x \geq 2 , \, y \geq 0 \end{align} $
adalah ....
A). $ 52 \, $ B). $ 60 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 76 \, $ E). $ 92 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai optimum pada program linear, bisa menggunakan metode uji titik pojok yang langkah-langkahnya :
1). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP),
2). Tentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, lalu pilih sesuai permintaan soal ( jika minimum maka pilih yang terkecil dan jika maksimum maka pilih yang terbesar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x + y \leq 10 \rightarrow (0,10) , ( 10,0) $
Garis II : $ x + 2y \leq 10 \rightarrow (0,5) , ( 10,0) $
Garis III : $ x \geq 2 \, $ (garis tegak)
Garis IV : $ y \geq 0 \, $ (mendatar)
 

*). Menentukan titik pojoknya :
-). Titik $ A(10,0) , \, C(2,0) $
-). Titik B, substitusi $ x = 2 $ ke garis II
$ x + 2y = 10 \rightarrow 2 + 2y = 10 \rightarrow y = 4 $
titik $ B (2,4) $
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ F = 6x + 10y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow F & = 6 \times 10 + 10 \times 0 = 60 \\ B \rightarrow F & = 6 \times 2 + 10 \times 4 = 52 \\ C \rightarrow F & = 6 \times 2 + 10 \times 0 = 12 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 60 . \, \heartsuit $

Pembahasan Akar-akar UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ penyelesaian dari persamaan $ \sqrt{2x-5}=1 + \sqrt{x - 3} $, maka $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menghilangkan bentuk kuadrat, cukup kita kuadratkan.
*). Sifat bentuk akar : $ (\sqrt{a})^2 = a $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \sqrt{2x-5} & =1 + \sqrt{x - 3} \\ (\sqrt{2x-5})^2 & = (1 + \sqrt{x - 3})^2 \\ 2x-5 & = 1 + 2\sqrt{x - 3} + (x-3) \\ x-3 & = 2\sqrt{x - 3} \\ (x-3)^2 & = (2\sqrt{x - 3})^2 \\ x^2 - 6x + 9 & = 4(x - 3) \\ x^2 - 6x + 9 & = 4x - 12 \\ x^2 - 10x + 21 & = 0 \\ (x -3)(x-7) & = 0 \\ x_1 = 3 \vee x_2 & = 7 \end{align} $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 3 + 7 = 10 $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Parabola $ y = x^2 + ax + 6 $ dan garis $ y = 2mx + c $ berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang. Maka ordinat titik C adalah ....
A). $ 4m^2 + 2ma + c \, $
B). $ 4m^2 - 2ma + c \, $
C). $ 2m^2 + ma + c \, $
D). $ 2m^2 - ma + c \, $
E). $ 2m^2 - 2ma + c \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Titik tengah antara $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah $ \frac{x_1 + x_2}{2} $
*). Jika telah diketahui nilai absis ($x $ nya), maka untuk mencari ordinat ($y$ nya) cukup substitusi nilai $ x $ yang diketahui.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_ 2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik potong kedua kurva di $ A(x_1, y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + ax + 6 & = 2mx + c \\ x^2 + ax - 2mx + 6 - c & = 0 \\ x^2 + (a - 2m)x + 6 - c & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ & = \frac{-(a-2m)}{1} \\ & = 2m - a \end{align} $
*). Karena C membagi ruas garis AB sama panjang, maka absis titik C adalah :
$\begin{align} x_c & = \frac{x_1+x_2}{2} \\ & = \frac{2m -a}{2} \end{align} $
*). Untuk menentukan ordinat ($y_c$) titik C, kita substitusi nilai $ x_c = \frac{2m -a}{2} $ ke salah satu persamaan, disini kita substitusi ke persamaan garisnya:
$\begin{align} y & = 2mx + c \\ & = 2m.\left( \frac{2m -a}{2} \right) + c \\ & = m\left( 2m -a \right) + c \\ & = 2m^2 - ma + c \end{align} $
Jadi, ordinat titik C adalah $ y_c = 2m^2 - ma + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x + y $ yang memenuhi persamaan $ \frac{2x+3y+4}{3x-y-10}=3 $ dan $ \frac{x-y+7}{-2x+y+5}= -3 $ adalah .....
A). $ -3 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 $ D). $ 3 $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan teknik eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan persamaan :
-). Persamaan pertama
$\begin{align} \frac{2x+3y+4}{3x-y-10} & =3 \\ 2x+3y+4 & = 3(3x-y-10) \\ 2x+3y+4 & = 9x-3y- 30 \\ 7x -6y & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan Kedua
$\begin{align} \frac{x-y+7}{-2x+y+5} & = -3 \\ x-y+7 & = -3(-2x+y+5) \\ x-y+7 & = 6x - 3y - 15 \\ 5x -2y & = 22 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 7x -6y = 34 & \times 1 & 7x -6y = 34 & \\ 5x -2y = 22 & \times 3 & 15x - 6y = 66 & - \\ \hline & & -8x = -32 & \\ & & x = 4 & \end{array} $
Pers(ii): $ 5x - 2y = 22 \rightarrow 5.4 - 2y = 22 \rightarrow 2y = -2 \rightarrow y = -1 $
Sehingga nilai $ x + y = 4 + (-1) = 3 $.
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Merasionalkan UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Apabila $ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $ dirasionalkan penyebutnya, maka bentuk tersebut menjadi .....
A). $ \sqrt{10} + \sqrt{6} \, $ B). $ \sqrt{10} + \sqrt{3} \, $
C). $ \sqrt{10} - \sqrt{6} \, $ D). $ 2\sqrt{5} - \sqrt{3} \, $
E). $ 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk merasionalkan bentuk akar, cukup kalikan dengan bentuk sekawannya. Sekawan dari $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $ adalah $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ .
*). Sifat-sifat bentuk akar :
1). $ ( \sqrt{a} - \sqrt{b})( \sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $
2). $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \\ & = \frac{\sqrt{4 \times 2} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} \\ & = \frac{2\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} \\ & = \sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3} ) \\ & = \sqrt{2.5} + \sqrt{2.3} \\ & = \sqrt{10} + \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, bentuk $ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \sqrt{10} + \sqrt{6} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a = 2 + \sqrt{7} $ dan $ b = 2 - \sqrt{7} $ , maka $ a^2 + b^2 - 4ab = .... $
A). $ 36 \, $ B). $ 34 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 30 \, $ E). $ 28 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat bentuk akar :
$ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b $
*). Bentuk pemfaktoran :
$ a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} & a^2 + b^2 - 4ab \\ & = (a^2 + b^2 - 2ab) - 2ab \\ & = (a-b)^2 - 2ab \\ & = [(2 + \sqrt{7})-(2-\sqrt{7})]^2 -2(2 + \sqrt{7})(2 - \sqrt{7}) \\ & = [2\sqrt{7}]^2 -2(4 - 7) \\ & = 4.7 -2(-3) = 28 + 6 = 34 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - 4ab = 34 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a = 2 + \sqrt{7} $ dan $ b = 2 - \sqrt{7} $ , maka $ a^2 + b^2 - 4ab = .... $
A). $ 36 \, $ B). $ 34 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 30 \, $ E). $ 28 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat bentuk akar :
1). $ (\sqrt{a})^2 = a $
2). $ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b $
3). $ (a + \sqrt{b})^2 = a^2 + b + 2a\sqrt{b} $
4). $ (a - \sqrt{b})^2 = a^2 + b - 2a\sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} & a^2 + b^2 - 4ab \\ & = (2 + \sqrt{7})^2 + (2 - \sqrt{7})^2 - 4(2 + \sqrt{7})(2 - \sqrt{7}) \\ & = (4 + 7 + 4\sqrt{7}) + (4 + 7 - 4\sqrt{7}) - 4(4 - 7) \\ & = (11 + 4\sqrt{7}) + (11 - 4\sqrt{7}) - 4(-3) \\ & = 22 + 12 = 34 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - 4ab = 34 . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \left(\frac{1}{25}\right)^{x - 2,5} = \sqrt{\frac{625}{5^{2-x}} } $ adalah $ x = .... $
A). $ \frac{3}{5} \, $ B). $ \frac{8}{5} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
1). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
2). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
3). $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
4). $ \sqrt{a^m} = a^\frac{m}{2} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} \left(\frac{1}{25}\right)^{x - 2,5} & = \sqrt{\frac{625}{5^{2-x}} } \\ \left( 5^{-2} \right)^{x - 2,5} & = \sqrt{\frac{5^4}{5^{2-x}} } \\ 5^{-2x + 5} & = \sqrt{ 5^{4 - (2-x)} } \\ 5^{-2x + 5} & = \sqrt{ 5^{4 - 2 + x} } \\ 5^{-2x + 5} & = \sqrt{ 5^{x + 2} } \\ 5^{-2x + 5} & = 5^{\frac{x + 2}{2} } \\ -2x + 5 & = \frac{x + 2}{2} \\ -4x + 10 & = x + 2 \\ -5x & = -8 \\ x & = \frac{8}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{8}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^4 \log 6 = m + 1 $ , maka $ {}^9 \log 8 = .... $
A). $ \frac{3}{4m-2} \, $ B). $ \frac{3}{4m+2} \, $ C). $ \frac{3}{2m+4} \, $
D). $ \frac{3}{2m-4} \, $ E). $ \frac{3}{2m+2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
1). $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
2). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
3). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan bentuk $ {}^4 \log 6 $ :
$\begin{align} {}^4 \log 6 & = m + 1 \\ {}^{2^2} \log 6 & = m + 1 \\ \frac{1}{2} . {}^{2} \log 6 & = m + 1 \\ {}^{2} \log 6 & = 2(m + 1) \\ {}^{2} \log 2 . 3 & = 2m + 2 \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 3 & = 2m + 2 \\ 1 + {}^{2} \log 3 & = 2m + 2 \\ {}^{2} \log 3 & = 2m + 1 \\ {}^3 \log 2 & = \frac{1}{2m + 1} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ {}^9 \log 8 $ :
$\begin{align} {}^9 \log 8 & = {}^{3^2} \log 2^3 \\ & = \frac{3}{2} . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{3}{2} . \frac{1}{2m + 1} \\ & = \frac{3}{4m + 2} \end{align} $
Jadi, bentuk $ {}^9 \log 8 = \frac{3}{4m + 2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Fungsi UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ maka $ -2f^\prime (x) $ sama dengan ....
A). $ \frac{1}{x\sqrt{x}} \, $ B). $ x\sqrt{x} \, $ C). $ -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \, $
D). $ -\frac{1}{2\sqrt{x}} \, $ E). $ -2x\sqrt{x} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus turunan fungsi aljabar :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1}$
*). Sifat eksponen dan bentuk akar :
i). $ \sqrt{x} = x^\frac{1}{2} $
ii). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
iii). $ a^m . a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \\ f^\prime (x) & = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} - 1} \\ & = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \\ & = -\frac{1}{2}. \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \\ & = -\frac{1}{2}. \frac{1}{x.x^{\frac{1}{2}}} \\ & = -\frac{1}{2}. \frac{1}{x\sqrt{x}} \end{align} $
Sehingga bentuk :
$ -2 f^\prime (x) = -2.-\frac{1}{2}. \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x\sqrt{x}} $
Jadi, bentuk $ -2 f^\prime (x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} . \, \heartsuit $