Pembahasan Parabola Geometri UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Parabola $ y = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 $ memotong sumbu Y di titik $ (0,p) $ serta memotong sumbu X di titik $ (q,0) $ dan $ (r,0) $. Jika $ p, q, $ dan $ r $ membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13, maka nilai $ k = .... $
A). $ 3^{-3} \, $ B). $ 3^{-2} \, $ C). $ 3^{-1} \, $ D). $ 3^0 \, $ E). $ 3^1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Parabola $ y = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu X di titik $ (q,0) $ dan $ (r,0) $ , artinya $ q $ dan $ r $ adalah akar-akar dari persamaan parabola tersebut, sehingga berlaku operasi akar yaitu $ q.r = \frac{c}{a} $.
*). $ p, q, r $ membentuk barisan geometri, maka perbandingannya sama yaitu :
$ \frac{q}{p} = \frac{r}{q} \rightarrow pr = q^2 $.
*). Suatu kurva melalui titik tertentu, maka titik tersebut bisa kita substitusi ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (x,y) = (0,p) $ ke parabolanya :
$ \begin{align} y & = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 \\ p & = k.0^2 - \frac{4}{9}.0 + 1 \\ p & = 1 \end{align} $
*). $ q $ dan $ r $ adalah akar-akar dari $ y = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 $ , sehingga :
$ q.r = \frac{c}{a} = \frac{1}{k} \rightarrow k = \frac{1}{qr} \, $ ....(i)
*). $ p, q, r $ membentuk barisan geometri, sehingga :
$ \begin{align} pr & = q^2 \\ 1.r & = q^2 \\ r & = q^2 \end{align} $
Karena $ r = q^2 $ , pers(i): $ k = \frac{1}{qr} = \frac{1}{q.q^2} = q^{-3} $
*). Jumlah $ p,q,r $ adalah 13 :
$ \begin{align} p + q + r & = 13 \\ 1 + q + q^2 & = 13 \\ q^2 + q - 12 & = 0 \\ (q + 4)(q - 3) & = 0 \\ q = -4 \vee q & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ k $ dari pers(i) :
$ \begin{align} q = -4 \rightarrow k & = q^{-3} \\ & = (-4)^{-3} = -(4)^{-3} \\ q = 3 \rightarrow k & = q^{-3} \\ & = 3^{-3} \end{align} $
Sehingga nilai $ k = -(4)^{-3} $ atau $ k = 3^{-3} $
Yang ada di pilihannya adalah $ k = 3^{-3} $.
Jadi, nilai $ k = 3^{-3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar