Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan kuadrat $ x^2 + 6x + c = 0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ u, v $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (x_1^2 + x_2^2)x + 4 = 0 $ dan $ u + v = u.v $ , maka nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ -64 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu : $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). PK1 : $ x^2 + 6x + c = 0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-6}{1} = -6 $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{1} = c $
-). PK2 : $ u, v $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (x_1^2 + x_2^2)x + 4 = 0 $
$ u + v = \frac{-[-(x_1^2 + x_2^2)]}{1} = (x_1^2 + x_2^2) $
$ u.v = \frac{4}{1} = 4 $
*). Menentukan nilai $ c $:
$ \begin{align} u + v & = u.v \\ (x_1^2 + x_2^2) & = 4 \\ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 4 \\ (-6)^2 - 2c & = 4 \\ 36 - 2c & = 4 \\ -2c & = -32 \\ c & = 16 \end{align} $
sehingga nilai $ x_1.x_2 = c = 16 $
*). Menentukan nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 $:
$ \begin{align} x_1^3x_2 + x_1x_2^3 & = x_1x_2 ( x_1^2 + x_2^2) \\ & = x_1x_2 [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] \\ & = 16. [(-6)^2 - 2.16] \\ & = 16. [36 - 32] \\ & = 16. [4] = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = 64 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar