Pembahasan Persamaan Matriks UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Untuk suatu $ \alpha $ , nilai $ x $ yang memenuhi $\left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \, $ adalah ....
A). $ x = \sin \alpha, \, y = \cos \alpha $
B). $ x = \cos \alpha, \, y = \sin \alpha $
C). $ x = 0 , \, y = 1 $
D). $ x = 1 , \, y = 0 \, $
E). $ x = 1 , \, y = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers : $ AX=C \rightarrow X = A^{-1}.C $
*). Perkalian matriks = baris $ \times $ kolom
*). identitas trigonometri :
$ \cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} &\left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right)^{-1}. \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{\cos \alpha . (-\cos \alpha) - \sin \alpha . \sin \alpha } \left( \begin{matrix} -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha } \left( \begin{matrix} -\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ -\sin \alpha\cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -(\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) } \left( \begin{matrix} -(\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -(1) } \left( \begin{matrix} -(1) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = -1. \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya nilai $ x = 1 $ dan $ y = 0 $
Jadi, bentuk $ M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar