Cara 2 Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mempunyai invers , maka semua bilangan real $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ adalah .....
A). $ b < 0 \, $ B). $ b > 0 \, $ C). $ b > -2 \, $
D). $ -2 < b < 0 \, $ E). $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat matriks P mempunyai invers yaitu $ det(P) \neq 0 $
*). Determinan matriks $ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ yaitu $ det(A) = ad - bc $.
*). Sifat determinan :
1). $ det(A.B) = det(A) . det(B) $
2). $ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $, dimana pada pembahasan sebelumnya terdapat lebih dari satu jawaban yang benar. Namun, biasanya pada SBMPTN jawaban yang benar hanya satu, artinya bisa saja terjadi salah pengetikan soal. Agar bisa mengarah ke bentuk jawaban yang ada, berikut beberapa kemungkinan soalnya yaitu :
$ det(ABA^{-1} ) > 0 \, $ atau $ det(A A^{-1}B^{-1} ) > 0 $ yang memberikan hasil yang sama. Jadi, pada pembahasan kedua ini, kita coba ganti soalnya agar terdapat satu jawaban yang benar.
*). Menentukan determinan masing-masing :
$ \begin{align} A & = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) \rightarrow det(A) = 2a^2 + 8 \\ B & = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) \rightarrow det(B ) = 2b^2 + 4b \end{align} $
*). Syarat mempunyai invers : determinan $ \neq 0 $ :
-). Matriks A :
$ det(A) \neq 0 \rightarrow 2a^2 + 8 \neq 0 $
Terpenuhi untuk semua nilai $ a $
-). Matriks B :
$ det(B) \neq 0 \rightarrow 2b^2 + 4b \neq 0 \rightarrow 2b(b+2) \neq 0 $
terpenuhi untuk $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $.
*). Sementara dari $ det(ABA^{-1} ) > 0 $ :
$ \begin{align} det(ABA^{-1} ) & > 0 \\ det(A).det(B).det(A^{-1}) & > 0 \\ det(A).det(B).\frac{1}{det(A)} & > 0 \\ det(B) & > 0 \\ 2b^2 + 4b & > 0 \\ 2b(b+2) & > 0 \\ b = 0 \vee b & = -2 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

Solusinya : $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $.
Artinya nilai $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1} ) > 0 $ dan matriks B mempunyai invers yaitu $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $
Jadi, nilai $ b $ yang memenuhi $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 . \, \heartsuit $


Tidak ada komentar:

Posting Komentar