Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mempunyai invers , maka semua bilangan real $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ adalah .....
A). $ b < 0 \, $ B). $ b > 0 \, $ C). $ b > -2 \, $
D). $ -2 < b < 0 \, $ E). $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat matriks P mempunyai invers yaitu $ det(P) \neq 0 $
*). Determinan matriks $ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ yaitu $ det(A) = ad - bc $.
*). Sifat determinan :
1). $ det(A.B) = det(A) . det(B) $
2). $ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan determinan masing-masing :
$ \begin{align} A & = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) \rightarrow det(A) = 2a^2 + 8 \\ B & = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) \rightarrow det(B ) = 2b^2 + 4b \end{align} $
*). Syarat mempunyai invers : determinan $ \neq 0 $ :
-). Matriks A :
$ det(A) \neq 0 \rightarrow 2a^2 + 8 \neq 0 $
Terpenuhi untuk semua nilai $ a $
-). Matriks B :
$ det(B) \neq 0 \rightarrow 2b^2 + 4b \neq 0 \rightarrow 2b(b+2) \neq 0 $
terpenuhi untuk $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $.
*). Sementara dari $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ :
$ \begin{align} det(ABA^{-1}B^{-1} ) & > 0 \\ det(A).det(B).det(A^{-1}).det(B^{-1}) & > 0 \\ det(A).det(B).\frac{1}{det(A)}.\frac{1}{det(B) } & > 0 \\ 1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya nilai $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ dan matriks B mempunyai invers yaitu $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $, atau dapat kita tulis himpunannya :
Penulisan pertama : HP = $ \{ b \neq 0 \text{ atau } b \neq -2 , b \in R \} $
Penulisan kedua : HP = $ \{ b < -2 \text{ atau } -2 < b < 0 \text{ atau } b > 0 , b \in R \} $
Jadi, jawabannya bisa option B, atau D atau E $ . \, \heartsuit $


Tidak ada komentar:

Posting Komentar