Pembahasan Persamaan Kuadrat SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ dan $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ saling berkebalikan, maka $ b - a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK1 $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ saling berkebalikan dengan PK2 $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ , artinya PK2 memiliki akar-akar $ \frac{1}{x_1} $ dan $ \frac{1}{x_2} $. Untuk memudahkan, kita misalkan saja akar-akar PK2 adalah $ y_1 = \frac{1}{x_1} $ dan $ y_2=\frac{1}{x_2} $.
*). PK1 : $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-a}{3} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{-2}{3} $.
*). PK2 : $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
-). Operasi penjumlahannya :
$\begin{align} y_1 + y_2 & = \frac{-6}{2} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} & = -3 \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} & = -3 \\ \frac{\frac{-a}{3}}{\frac{-2}{3}} & = -3 \\ \frac{a}{2} & = -3 \\ a & = -6 \end{align} $
-). Operasi perkalian :
$\begin{align} y_1 . y_2 & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{x_1} .\frac{1}{x_2} & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{x_1.x_2} & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{\frac{-2}{3} } & = \frac{3b}{2} \\ \frac{-3}{2} & = \frac{3b}{2} \\ b & = -1 \end{align} $
Sehingga nilai $ b - a = -1 - (-6) = 5 $
Jadi, nilai $ b - a = 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar