Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 202

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = ax^2+bx + c $ dengan $ f(0) = f(2) = 5 $ . Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 2 $, maka $ f(5) = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Limit bentuk tak tentu
Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ f(0) = f(2) = 5 $, substitusi ke fungsinya,
$ f(0) = 5 \rightarrow a.0^2+b.0 + c = 5 \rightarrow c = 5 $
sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + 5 $
$ f(2) = 5 \rightarrow a.2^2+b.2 + 5 = 5 \rightarrow 4a + 2b = 0 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i)
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{0}{0} $ sehingga penyelesaiannya menggunakan dalil L'hospital (menggunakan turunan).
$ f(x) = ax^2 + bx + 5 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $.
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2ax + b}{1} & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} 2ax + b & = 2 \\ 2a.2 + b & = 2 \\ 4a + b & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ 4a + b = 2 \rightarrow 4a + (-2a) = 2 \rightarrow 2a = 2 \rightarrow a = 1 $.
$ b = -2a = -2.1 = -2 $.
Sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + 5 \rightarrow f(x) = x^2 -2x + 5 $.
*). Menentukan nilai $ f(5) $ :
$ f(5) = 5^2 - 2.5 + 5 = 25 - 10 + 5 = 20 $
Jadi, nilai $ f(5) = 20 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar