Cara 2 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 MatIpa 139

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, \frac{\left(x+\frac{\pi}{2}\right) (1-\sin x)}{\tan 2x} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian limit dengan turunan (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin (- x) = - \sin x \, $ dan $ \cos ( - x) = \cos x $
*). Turunan $ y = \tan ax \rightarrow y^\prime = 2\sec ^2 x $
dengan $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $
$ \sec (-\pi) = \sec \pi = -1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, \frac{\left(x+\frac{\pi}{2}\right) (1-\sin x)}{\tan 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, \frac{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{\tan 2x} \times \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, (1-\sin x) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, \frac{1}{2\sec ^2 2x} \times \, (1+\sin \frac{\pi}{2}) \\ & = \frac{1}{2\sec ^2 2x} \times \, (1+1) \\ & = \frac{1}{2\sec ^2 2\left(-\frac{\pi}{2}\right) } \times \, 2 \\ & = \frac{1}{2\sec ^2 ( -\pi ) } \times \, 2 \\ & = \frac{1}{2 . 1 } \times \, 2 \\ & = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar