Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 139

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, \frac{\left(x+\frac{\pi}{2}\right) (1-\sin x)}{\tan 2x} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ax}{\tan bx} = \frac{a}{b} \, $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin (- x) = - \sin x \, $ dan $ \tan ( - x) = -\tan x $
$ \tan (\pi - A) = -\tan A $
$ \tan ( A - \pi) = \tan -(\pi - A) = -\tan (\pi - A) = \tan A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ y = \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \rightarrow x = \left( y - \frac{\pi}{2}\right) $
Untuk $ x $ mendekati $ -\frac{\pi}{2} $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, \frac{\left(x+\frac{\pi}{2}\right) (1-\sin x)}{\tan 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, \frac{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{\tan 2x} \times \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, (1-\sin x) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \, \frac{y}{\tan \left( 2y - \pi \right)} \times \, (1+\sin \frac{\pi}{2}) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \, \frac{y}{\tan 2y} \times \, (1+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar