Pembahasan Limit TakHingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 139

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -\frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{1}{4} \, $ E). $ -\frac{1}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ ay}{\tan by} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cot A = \frac{1}{\tan A} $
*). Konsep limit tak hingga aljabar:
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx + a}{dx +k } = \frac{c}{d} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x+1} = y \rightarrow x + 1 = \frac{1}{y}$, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{(1-x)(1+x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x }{1 - x} . \frac{\cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{x + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x }{1 - x} \times \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{x + 1} \\ & = \frac{1}{-1} \times \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot 5y}{\frac{1}{y}} \\ & = -1 \times \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\tan 5y} \\ & = -1 \times \frac{1}{5} = - \frac{1}{5} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ - \frac{1}{5} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar