Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(g(x)) = x^2 - 6x $ untuk $ x \leq 0 $ dan $ g(x+3) = x $ untuk semua bilangan real $ x $. Jika
$ f^{-1} $ ada, maka $ ( g \circ f^{-1})(0) $ adalah ...
A). $ -5 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
A). $ -5 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
-). Pada bentuk fungsi awal $ y = f(x) $ , $ x $ sebagai domain dan $ y $ sebagai hasil
-). Pada bentuk fungsi awal $ x = f^{-1}(y) $ , $ y $ sebagai domain dan $ x $ sebagai hasil
*). Komposisi fungsi : $ (g \circ h)(x) = g(h(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Untuk mengubah fungsi menjadi $ f(x) $ atau $ g(x) $, bisa menggunakan permisalan.
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
-). Pada bentuk fungsi awal $ y = f(x) $ , $ x $ sebagai domain dan $ y $ sebagai hasil
-). Pada bentuk fungsi awal $ x = f^{-1}(y) $ , $ y $ sebagai domain dan $ x $ sebagai hasil
*). Komposisi fungsi : $ (g \circ h)(x) = g(h(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Untuk mengubah fungsi menjadi $ f(x) $ atau $ g(x) $, bisa menggunakan permisalan.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ g(x+3) = x $ :
-). Mengubah menjadi $ g(x) $
Misalkan $ x + 3 = p \rightarrow x = p - 3 $
$\begin{align} g(x+3) & = x \\ g(p) & = p - 3 \\ g(x) & = x - 3 \end{align} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ x - 3 = q \rightarrow x = q + 3 $
$\begin{align} f(g(x)) & = x^2 - 6x \\ f(x-3) & = x^2 - 6x \\ f(q) & = (q+3)^2 - 6(q+3) \\ f(q) & = q^2 + 6q + 9 - 6q - 18 \\ f(q) & = q^2 - 9 \\ f(x) & = x^2 - 9 \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ f(x) = x^2 - 9 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 9 \\ y & = x^2 - 9 \\ x^2 & = y + 9 \\ x & = \pm \sqrt{y + 9 } \end{align} $
Karena $ x \leq 0 $ , maka $ x = -\sqrt{y + 9} $
artinya $ f^{-1}(x) = -\sqrt{x + 9} $
*). Menentukan nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) $ :
$\begin{align} ( g \circ f^{-1})(0) & = g( f^{-1}(0)) \\ & = g \left( -\sqrt{0 + 9} \right) \\ & = g \left( -3 \right) \\ & = -3 - 3 = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) = -6 . \, \heartsuit $
*). Fungsi $ g(x+3) = x $ :
-). Mengubah menjadi $ g(x) $
Misalkan $ x + 3 = p \rightarrow x = p - 3 $
$\begin{align} g(x+3) & = x \\ g(p) & = p - 3 \\ g(x) & = x - 3 \end{align} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ x - 3 = q \rightarrow x = q + 3 $
$\begin{align} f(g(x)) & = x^2 - 6x \\ f(x-3) & = x^2 - 6x \\ f(q) & = (q+3)^2 - 6(q+3) \\ f(q) & = q^2 + 6q + 9 - 6q - 18 \\ f(q) & = q^2 - 9 \\ f(x) & = x^2 - 9 \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ f(x) = x^2 - 9 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 9 \\ y & = x^2 - 9 \\ x^2 & = y + 9 \\ x & = \pm \sqrt{y + 9 } \end{align} $
Karena $ x \leq 0 $ , maka $ x = -\sqrt{y + 9} $
artinya $ f^{-1}(x) = -\sqrt{x + 9} $
*). Menentukan nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) $ :
$\begin{align} ( g \circ f^{-1})(0) & = g( f^{-1}(0)) \\ & = g \left( -\sqrt{0 + 9} \right) \\ & = g \left( -3 \right) \\ & = -3 - 3 = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) = -6 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.