Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(g(x)) = x^2 - 6x $ untuk $ x \leq 0 $ dan $ g(x+3) = x $ untuk semua bilangan real $ x $. Jika
$ f^{-1} $ ada, maka $ ( g \circ f^{-1})(0) $ adalah ...
A). $ -5 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
A). $ -5 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(g(x)) = x^2 - 6x $ :
$\begin{align} f(g(x)) & = x^2 - 6x \\ f^{-1}(x^2 - 6x) & = g(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(0) $ , maka $ x^2 - 6x = 0 \rightarrow x(x-6) = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = 6 $ . Karena yang diminta $ x \leq 0$ , maka $ x = 0 $ yang memenuhi.
-). Dari bentuk $ g(x+3) = x $, agar memperoleh nilai $ g(0) $ , maka $ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 $
$ x = -3 \rightarrow g(x+3) = x \rightarrow g(-3+3) = -3 \rightarrow g(0) = -3 $
$ x = 0 \rightarrow f^{-1}(x^2 - 6x) = g(x) \rightarrow f^{-1}(0^2 - 6.0) = g(0) \rightarrow f^{-1}(0) = -3 $
-). Dari bentuk $ g(x+3) = x $, agar memperoleh nilai $ g(-3) $ , maka $ x + 3 = -3 \rightarrow x = -6 $
$ x = -6 \rightarrow g(x+3) = x \rightarrow g(-6+3) = -6 \rightarrow g(-3) = -6 $
*). Menentukan nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) $ :
$\begin{align} ( g \circ f^{-1})(0) & = g ( f^{-1}(0) ) \\ & = g( -3) \\ & = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) = -6 . \, \heartsuit $
*). Fungsi $ f(g(x)) = x^2 - 6x $ :
$\begin{align} f(g(x)) & = x^2 - 6x \\ f^{-1}(x^2 - 6x) & = g(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(0) $ , maka $ x^2 - 6x = 0 \rightarrow x(x-6) = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = 6 $ . Karena yang diminta $ x \leq 0$ , maka $ x = 0 $ yang memenuhi.
-). Dari bentuk $ g(x+3) = x $, agar memperoleh nilai $ g(0) $ , maka $ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 $
$ x = -3 \rightarrow g(x+3) = x \rightarrow g(-3+3) = -3 \rightarrow g(0) = -3 $
$ x = 0 \rightarrow f^{-1}(x^2 - 6x) = g(x) \rightarrow f^{-1}(0^2 - 6.0) = g(0) \rightarrow f^{-1}(0) = -3 $
-). Dari bentuk $ g(x+3) = x $, agar memperoleh nilai $ g(-3) $ , maka $ x + 3 = -3 \rightarrow x = -6 $
$ x = -6 \rightarrow g(x+3) = x \rightarrow g(-6+3) = -6 \rightarrow g(-3) = -6 $
*). Menentukan nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) $ :
$\begin{align} ( g \circ f^{-1})(0) & = g ( f^{-1}(0) ) \\ & = g( -3) \\ & = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) = -6 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.