Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 635

Soal yang Akan Dibahas
Sebelas buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 187. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 289 \, $ B). $ 323 \, $ C). $ 357 \, $ D). $ 399 \, $ E). $ 418 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n $ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ \, \, \, \, \, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
Keterangan :
$ a = U_1 = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah 11 bilangan pertama adalah 187 :
$\begin{align} S_{11} & = 187 \\ \frac{11}{2} (2a + (11-1)b) & = 187 \\ 2a + 10b & = 187 \times \frac{2}{11} \\ 2a + 10b & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9, u_{10}, u_{11} $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $ , $ \frac{u_9 + u_{10}}{2} $ , $ u_{10} $ , $ \frac{u_{10} + u_{11}}{2} $ , $ u_{11} $ .
*). Perhatikan sisipannya :
-). ada 10 suku yang disisipkan yaitu :
$ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ \frac{u_9 + u_{10}}{2} $, $ \frac{u_{10} + u_{11}}{2} $ .
suku pertamanya : $ \frac{u_1 + u_2}{2} = \frac{a + (a + b)}{2} = \frac{2a + b}{2} $
suku keduanya : $ \frac{u_2 + u_3}{2} = \frac{(a + b) + (a + 2b)}{2} = \frac{2a + 3b}{2} $
beda $ = \frac{2a + 3b}{2} - \frac{2a + b}{2} = b $
-). Jumlah semua 10 suku sisipannya yaitu :
$\begin{align} S_{10} & = \frac{10}{2} ( 2 . \frac{2a + b}{2} + (10-1) b ) \\ & = 5 ( 2a + b + 9b ) \\ & = 5 ( 2a + 10b ) \\ & = 5 \times 34 = 170 \end{align} $
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 11 suku awal dan 10 suku sisipannya :
$\begin{align} \text{Total } & = S_{11} + S_{10} \\ & = 187 + 170 \\ & = 357 \end{align} $
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 357 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.