Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $ mempunyai puncak di $ (1,1) $ dan menyinggung garis $ y = x + 1 $. Nilai $ 8a - 4b = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi kuadrat (PK) : $ y = ax^2 + bx + c $
-). Titik puncaknya $ (x_p,y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} $
dimana $ D = b^2 - 4ac $.
*). Syarat garis dan parabola bersinggungan yaitu $ D = 0 $
*). Titik yang dilalui kurva boleh disubstitusikan ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ y = ax^2 + bx + c $ mempunyai puncak di $ (1,1) $
artinya $ x_p = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i)
*). Substitusi titik $ (x-y) = (1,1) $ ke parabola :
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \\ 1 & = a.1^2 + b.1 + c \\ 1 & = a + b + c \\ 1 & = a + (-2a) + c \\ 1 & = -a + c \\ c & = a + 1 \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). garis $ y = x + 1 $ menyinggung $ y = ax^2 + bx + c $ :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ ax^2 + bx + c & = x + 1 \\ ax^2 + bx - x + c - 1 & = 0 \\ ax^2 + (b-1)x + (c - 1) & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (b-1)^2 - 4.a.(c-1) & = 0 \\ (-2a-1)^2 - 4.a.((a+1)-1) & = 0 \\ 4a^2 + 4a + 1 - 4.a.(a) & = 0 \\ 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 & = 0 \\ 4a + 1 & = 0 \\ 4a & = -1 \\ a & = \frac{-1}{4} \end{align} $
Pers(i): $ b = -2a = -2. (\frac{-1}{4}) = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ 8a - 4b $ :
$\begin{align} 8a - 4b & = 8(\frac{-1}{4}) - 4 . (\frac{1}{2}) \\ & = -2 - 2 \\ & = -4 \end{align} $
Jadi, nilai $ 8a - 4b = -4 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar