Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang merupakan penyelesaian dari $ -2^{2x+1} + 4^x + 8^{x+\frac{1}{3}} - 8^{\frac{2x-1}{3}}- 16^{\frac{2x-1}{4}} > 0 $ adalah .....
A). $ -1 \leq x < 0 \, $ B). $ x > 0 \, $
C). $ x<0 atau="" x=""> 1 $
D). $ 0 \leq x < 1 \, $ E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n $
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 2^x = p > 0 $ (nilai $ p $ selalu positif) :
*). Mengubah ke dalam bentuk $ p $ :
$ 2^{2x+1} = 2^{2x}. 2^1 = (2^x)^2 . 2 = p^2 . 2 = 2p^2 $
$ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = p^2 $
$ 8^{x+\frac{1}{3}} = (2^3)^{x+\frac{1}{3}} = 2^{3x+1} = 2^{3x}.2^1 = (2^x)^3.2 = p^3 . 2 = 2p^3 $
$ 8^{\frac{2x-1}{3}} = (2^3)^{\frac{2x-1}{3}} = 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2^1} = \frac{p^2}{2} $
$ 16^{\frac{2x-1}{4}} = (2^4)^{\frac{2x-1}{4}} = 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2^1} = \frac{p^2}{2} $
*). Menyelesaikan ketaksamaannya :
$\begin{align} -2^{2x+1} + 4^x + 8^{x+\frac{1}{3}} - 8^{\frac{2x-1}{3}}- 16^{\frac{2x-1}{4}} & > 0 \\ -2p^2 + p^2 + 2p^3 - \frac{p^2}{2} - \frac{p^2}{2} & > 0 \\ 2p^3- 2p^2 & > 0 \\ 2p^2(p-1) & > 0 \\ p = 0 \vee p & = 1 \end{align} $
karena $ p > 0 $ , yang memenuhi $ p = 1 $
$ p = 1 \rightarrow 2^x = 1 \rightarrow x = 0 $
gambar garis bilangan untuk nilai $ x = 0 $ :
 

Penyelesaiannya : $ x > 0 $
Jadi, solusinya adalah $ x > 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar