Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 101 \, $ D). $ 110 \, $ E). $ 1100 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
atau dapat kita tulis $ a^c = b $ menjadi $ c = {}^a \log b $
*). Sifat logartima :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $ (dibalik $ a $ dan $ b $ nya)
$ {}^a \log ( \frac{b}{c}) = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Untuk logaritma yang tidak ditulis basisnya berarti berbasis 10
contoh : $ \log b = {}^{10} \log b $
(ini sudah kesepakatan international)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = \log x = {}^{10} \log x $ :
Bentuk $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ kita anggap $ a = x, c = 4\log x $ dan $ b = \frac{x^{12}}{10^8} $ sehingga bentuknya sama saja dengan $ a^c = b $, lalu kita gunakan definisi logaritma.
*). Mengubah persamaannya dengan defini logaritma :
$\begin{align} x^{4\log x} & = \frac{x^{12}}{10^8} \\ a^c & = b \\ c & = {}^a \log b \\ 4\log x & = {}^x \log \frac{x^{12}}{10^8} \\ 4\log x & = {}^x \log x^{12} - {}^x \log 10^8 \\ 4\log x & = 12 . {}^x \log x - 8. {}^x \log 10 \\ 4\log x & = 12 . 1 - 8. \frac{1}{{}^{10} \log x } \\ 4\log x & = 12 - \frac{8}{{}^{10} \log x } \\ 4p & = 12 - \frac{8}{p} \, \, \, \, \, (\text{ kali } p ) \\ 4p^2 & = 12p - 8 \\ 4p^2 - 12p + 8 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ p^2 - 3p + 2 & = 0 \\ (p-1)(p-2) & = 0 \\ p = 1 & \vee p = 2 \\ {}^{10} \log x = 1 & \vee {}^{10} \log x = 2 \\ x = 10^1 & \vee x = 10^2 \\ x_1 = 10 & \vee x_2 = 100 \end{align} $
*). Menentukan Jumlah semua nilai $ x $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 10 + 100 = 110 \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ x $ adalah $ 110 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar