Pembahasan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan barisan geometri tak konstan $ a, b, c , ... $ Jika $ abc = 27 $ dan $ 9a + b + c = 33 $ , maka $ 6a + 7b = .... $
A). $ 39 \, $ B). $ 30 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Ciri-ciri barisan geometri :
Misalkan ada $ u_1, u_2, u_3, .... $ adalah barisan geometri,
Barisan geometri memiliki perbandingan suku berdekatan sama.
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3}= .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisan geometri : $ a, b, c , ... $
Perbandingan sama yaitu :
$ \frac{b}{a} = \frac{c}{b} \rightarrow ac = b^2 \, $ .....(i)
*). Diketahui juga persamaan :
$ abc = 27 \, $ .....(ii)
$ 9a + b + c = 33 \, $ ......(iii)
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ abc = 27 \rightarrow ac.b = 27 \rightarrow b^2.b = 27 $
$ \rightarrow b^3 = 27 \rightarrow b = 3 $
pers (ii) :
$ abc = 27 \rightarrow a.3.c=27 \rightarrow ac = 9 $
pers(iii) :
$ 9a + b + c = 33 \rightarrow 9a + 3 + c = 33 $
$ \rightarrow c = 30 - 9a $
*). Substitusi $ c = 30 - 9a $ ke $ ac = 9 $ :
$\begin{align} ac & = 9 \\ a(30 - 9a) & = 9 \\ 30a - 9a^2 & = 9 \\ 9a^2 - 30a + 9 & = 0 \\ 3a^2 - 10a + 3 & = 0 \\ (3a-1)(a-3) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 3 \end{align} $
-). Sebelumnya kita telah memperoleh $ b = 3 $, sementara disoal haruslah $ a, b, c, ...$ tidak konstan (harus berbeda semuanya), artinya nilai $ a $ tidak boleh sama dengan 3 juga. Sehingga yang memenuhi $ a = \frac{1}{3} $.
*). Menentukan nilai $ 6a + 7b $ :
$\begin{align} 6a + 7b & = 6(\frac{1}{3} ) + 7. 3 \\ & = 2 + 21 \\ & = 23 \end{align} $
Jadi, nilai $ 6a + 7b = 23 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar