Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ adalah tiga kali akar yang lainnya. Perkalian dari nilai-nilai $ a $ yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Akar-akar bisa disubstitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ misalkan memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Salah satu akarnya tiga kali akar yang lainnya :
Misalkan $ x_1 = 3x_2 \, $ ....(i)
*). Operasi perkalian dan $ x_1 = 3x_2 $ :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 3x_2 . x_2 & = \frac{3}{1} \\ 3x_2^2 & = 3 \\ x_2^2 & = 1 \\ x_2 & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{align} $
*). Substitusi $ x_2 = 1 $ dan $ x_2 = -1 $ ke PK $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ :
$\begin{align} x_2 = 1 \rightarrow & \\ 1^2 - (3a-5).1+3 & = 0 \\ 1 - 3a + 5 + 3 & = 0 \\ -3a & = -9 \\ a_1 & = 3 \\ x_2 = -1 \rightarrow & \\ (-1)^2 - (3a-5).(-1)+3 & = 0 \\ 1 + 3a - 5 + 3 & = 0 \\ 3a & = 1 \\ a_2 & = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan pekalian semua nilai $ a $ :
$\begin{align} a_1.a_2 & = 3. \frac{1}{3} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a $ adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar