Cara 2 Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ a^{-m} = \frac{1}{a^m} $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x = p $. Yang ditanyakan yaitu :
$ 2^x + 2^{-x} = 2^x + \frac{1}{2^x} = p + \frac{1}{p} $
*). Menentukan bentuk $ p^2 + (\frac{1}{p})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (p - \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2. p . \frac{1}{p} \\ (p - \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 & = (p - \frac{1}{p})^2 + 2 \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+(2^2)^{-x}-2^2.2^{-x}+2^2. 2^x-7 & = 0 \\ (2^x)^2+(2^{-x})^2-4.2^{-x}+4. 2^x-7 & = 0 \\ (2^x)^2+(\frac{1}{2^x})^2-4.\frac{1}{2^x}+4. 2^x-7 & = 0 \\ (p)^2+(\frac{1}{p})^2-4.\frac{1}{p}+4.p-7 & = 0 \\ (p)^2+(\frac{1}{p})^2 + 4( p - \frac{1}{p}) -7 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p})^2 + 2 + 4( p - \frac{1}{p}) -7 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p})^2 + 4( p - \frac{1}{p}) -5 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p} -1 )(p - \frac{1}{p} + 5) & = 0 \\ p - \frac{1}{p} = 1 \vee p - \frac{1}{p} & = - 5 \end{align} $
*). Kita proses satu per satu sampai ditemukan jawabannya di optionnya.
*). Bentuk $ p - \frac{1}{p} = 1 $ , kuadratkan :
$\begin{align} p - \frac{1}{p} & = 1 \\ (p - \frac{1}{p})^2 & = 1^2 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2.p.\frac{1}{p} & = 1 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2 & = 1 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 & = 3 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 + 2.p.\frac{1}{p} \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 + 2 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = 3 + 2 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = 5 \\ p + \frac{1}{p} & = \sqrt{5} \end{align} $
Karena sudah ada di optionnya, maka bentuk $ p - \frac{1}{p} = -5 $ tidak perlu kita proses lagi.
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Catatan : Dari bentuk $ p - \frac{1}{p} = 1 $ , bisa juga dikalikan $ p $ sehingga terbentuk persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai $ p $ nya dengan rumus ABC, setelah itu baru substitusikan ke bentuk $ p + \frac{1}{p} $.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar