Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah ....
A). $ 576 \, $ B). $ 648 \, $ C). $ 729 \, $ D). $ 765 \, $ E). $ 810 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyusun banyaknya cara penyusunan angka bisa menggunakan kaidah pencacahan yaitu aturan perkalian dan penjumlahan.
*). Jika ada penyusunan dengan digit berbeda, maka maksudnya adalah angka yang sudah kita gunakan tidak boleh dipakai lagi sehingga kemungkinan untuk digit berikutnya selalu berkurang satu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ada 10 pilihan angka)
*). Akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga digit ( urutannya dari ratusan, puluhan, dan satuan) dengan aturan semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan. Untuk memudahkan penghitungan, kita bagi menjadi dua kasus yaitu :

*). Kasus I : semua digitnya berbeda, kemungkinan susunannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline R & P & S \\ \hline 9 & 9 & 8 \\ \hline \end{array} $
Cara I = $ 9 \times 9 \times 8 = 648 \, $ cara
Keterangan :
-). Ratusan tidak boleh angka nol, sehingga ada 9 pilihan kemungkinan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-). Satu angka sudah kita gunakan untuk ratusan, sehingga tinggal 9 pilihan lagi untuk puluhannya.
-). Dua angka sudah kita gunakan untuk ratusan dan puluhan, sehingga tinggal 8 pilihan lagi untuk satuannya.

*). Kasus II : ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan, kemungkinan susunannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline R & P & S \\ \hline 9 & 9 & 1 \\ \hline \end{array} $
Cara II = $ 9 \times 9 \times 1 = 81 \, $ cara
Keterangan :
-). Kasus kedua ini terpenuhi jika digit yang sama terletak pada ratusan dan satuannya.
-). Ratusan tidak boleh angka nol, sehingga ada 9 pilihan kemungkinan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-). Satu angka sudah kita gunakan untuk ratusan, sehingga tinggal 9 pilihan lagi untuk puluhannya.
-). Satuannya harus sama dengan digit pada ratusannya, sehingga otomatis satuannya terisi sesuai digit pada ratusanya, ini artinya cuma ada 1 pilihan saja.

*). Total cara penyusunannya :
$\begin{align} \text{Total } & = \text{cara I } + \text{ cara II} \\ & = 648 + 81 \\ & = 729 \end{align} $
Jadi, banyak bilangannya ada $ 729 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar