Cara 3 Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x - 2^{-x} = p $
*). Menentukan bentuk $ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (2^x - 2^{-x})^2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^x . 2^{-x} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^{x + (-x)} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^{0} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 1 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 & = p^2 + 2 \end{align} $
*). Menentukan $ 2^x + 2^{-x} $ :
$\begin{align} (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^x . 2^{-x} \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2 \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (p^2 + 2) + 2 \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = p^2 + 4 \\ 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{ p^2 + 4 } \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+ (2^2)^{-x}-2^2. 2^{-x} +2^2. 2^x -7 & = 0 \\ 2^{2x}+ 2^{-2x} -4. 2^{-x} + 4. 2^x -7 & = 0 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 4( 2^x - 2^{-x} ) -7 & = 0 \\ (p^2 + 2) + 4 p -7 & = 0 \\ p^2 + 4 p -5 & = 0 \\ (p -1)(p+5) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = - 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 2^x + 2^{-x} $ dengan nilai $ p $ :
$\begin{align} p = 1 \rightarrow 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{p^2 + 4} \\ & = \sqrt{1^2 + 4} \\ & = \sqrt{5} \\ p = -5 \rightarrow 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{p^2 + 4} \\ & = \sqrt{(-5)^2 + 4} \\ & = \sqrt{29} \end{align} $
Yang ada di option adalah $ p = \sqrt{5} $
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar