Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p>0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p}=12 $ , maka nilai $ p - q $ adalah .....
A). $ 14 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan Turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Cek nilai limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p} & = 12 \\ \frac{p^3+p.p^2+q.p}{p-p} & = 12 \\ \frac{p^3+p^3+pq}{0} & = 12 \\ \frac{2p^3+pq}{0} & = 12 \end{align} $
-). Bentuk $ \frac{2p^3+pq}{0} $ jika kita hitung maka hasilnya $ \infty $, sementara hasil pada soal adalah 12, ini artinya bentuk limitnya harus tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ agar limitnya bisa kita proses lagi sehingga hasilnya menjadi 12.
$ \frac{2p^3+pq}{0} = \frac{0}{0} \rightarrow 2p^3+pq = 0 $
Bagi dengan $ p $, kita peroleh $ 2p^2 + q = 0 \rightarrow q = -2p^2 \, $ ......(i)
*). Turunan pada limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p} & = 12 \\ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{3x^2+ 2px +q}{1} & = 12 \\ 3p^2+ 2p.p +q & = 12 \\ 5p^2 +q & = 12 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ q = -2p^2 $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} 5p^2 +q & = 12 \\ 5p^2 + (-2p^2 ) & = 12 \\ 3p^2 & = 12 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Karena $ p > 0 $ , maka $ p = 2 $ yang memenuhi.
sehingga $ q = -2p^2 = -2(2)^2 = - 8 $
*). Menentukan nilai $ p - q $ :
$ \begin{align} p - q & = 2 - (-8) = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ p - q = 10 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar