Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x)=(2x+1)^5 $ dan $ h=f\circ g $. Jika $ g(5)=-1 $ dan $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2$, maka $ h^\prime (5) = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 50 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar turunan :
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $
$ y = f(g(x)) \rightarrow y^\prime = f^\prime (g(x)) . g^\prime (x) $
*). Komposisi fungsi :
$ ( f\circ g)(x) = f(g(x)) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) & =(2x+1)^5 \\ f^\prime (x) & = 5(2x+1)^4. 2 \\ f^\prime (x) & = 10(2x+1)^4 \\ f^\prime (-1) & = 10(2.(-1)+1)^4 \\ & = 10(-11)^4 = 10 \end{align} $
*). Diketahui $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $, menentukan $ g^\prime (5) $ :
-). Menentukan nilai $ x $ agar menjadi $ g^\prime (5) $ :
$ \begin{align} \frac{x+1}{x-1} & = 5 \\ x + 1 & = 5x - 5 \\ 4x & = 6 \\ x & = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{align} $
-). Substitusi $ x = \frac{3}{2} $ ke $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $
Untuk $ x = \frac{3}{2} $, maka $ \frac{x+1}{x-1} = 5 $ :
$ \begin{align} x = \frac{3}{2} \rightarrow g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right) & =2x+2 \\ g^\prime (5) & =2 (\frac{3}{2}) +2 \\ & =3 +2 \\ & =5 \end{align} $
*). Bentuk $ h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ :
$ \begin{align} h(x) & = f(g(x)) \\ h^\prime(x) & = f^\prime (g(x)) . g^\prime (x) \\ h^\prime(5) & = f^\prime (g(5)) . g^\prime (5) \\ & = f^\prime (-1) . 5 \\ & = 10 . 5 \\ & = 50 \end{align} $
Jadi, nilai $ h^\prime(5) = 50 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar