Pembahasan Barisan Geometri dan Aritmatika Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $ membentuk barisan geometri. Jika $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 \, $ membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ x_4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{10}{27} \, $ B). $ \frac{5}{4} \, $ C). $ 80 \, $ D). $ 270 \, $ E). $ 640 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan aritmatika
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan geometri, maka rasio (perbandingan) sama. Sehingga kita peroleh $ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan aritmatika, maka selisihnya sama. Sehingga kita peroleh $y - x = z - y \rightarrow 2y = x + z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Pertama :
barisan aritmatika : $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 $
$ \begin{align} 2y & = x + z \\ 2(x_3 - 10) & = (x_2 - 10) + (x_4-x_3-x_2-10) \\ 2x_3 - 20 & = x_4-x_3 - 20 \\ x_4 & = 3x_3 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Kedua :
barisan geometri : $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $
$ 10, \, x_2, \, x_3 \rightarrow x_2^2 = 10x_3 \, $ ....(ii)
$ x_2, \, x_3, \, x_4 \rightarrow x_3^2 = x_2.x_4 \, $ ....(iii)
*). Substitusi pers(i) ke (iii) :
$ \begin{align} x_3^2 & = x_2.x_4 \\ x_3^2 & = x_2.(3x_3) \\ x_3 & = 3x_2 \, \, \, \, \, \text{....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iv) ke (ii) :
$ \begin{align} x_2^2 & = 10x_3 \\ x_2^2 & = 10.(3x_2) \\ x_2^2 & = 30x_2 \\ x_2 & = 30 \end{align} $
Sehingga untuk nilai yang lainnya :
pers(iv) : $ x_3 = 3x_2 = 3 . 30 = 90 $
pers(i) : $ x_4 = 3x_3 = 3. 90 = 270 $
Jadi, nilai $ x_4 = 270 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar