Pembahasan Logaritma Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi persamaan $ (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} = \log 10 $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ 5\sqrt{10} \, $ B). $ 4\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{10} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan eksponen
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara I :
*). Misalkan $ p = {}^{10} \log x = \log x $
$ \begin{align} (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} & = \log 10 \\ (2\, {}^{10} \log x - 1) . {}^{10} \log x & = 1 \\ (2p - 1) .p & = 1 \\ 2p^2 - p - 1 & = 0 \\ (2p +1)(p-1) & = 0 \\ p = -\frac{1}{2} \vee p & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ p = -\frac{1}{2} \rightarrow {}^{10} \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} $
$ p = 1 \rightarrow {}^{10} \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^{1} = 10 $
Sehingga nilai :
$ x_1 . x_ 2 = 10^{-\frac{1}{2}} . 10 = 10^{-\frac{1}{2} + 1 } = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II :
*). Bagaimana kalau bentuk $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ tidak bisa difaktorkan? Kita gunakan alternatif cara kedua ini.
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $.
*). Misalkan akar-akar dari $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ adalah $ p_1 \, $ dan $ p_2 \, $ dengan $ p_1 = {}^{10} \log x_1 \, $ dan $ p_2 = {}^{10} \log x_2 $.
*). Kita gunakan operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
$ 2p^2 - p - 1 = 0 $
$\begin{align} p_1 + p_2 & = \frac{-b}{a} \\ {}^{10} \log x_1 + {}^{10} \log x_2 & = \frac{-(-1)}{2} \\ {}^{10} \log (x_1.x_2) & = \frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = 10^\frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar