Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Logaritma Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan akar-akar $ 4x^2-7x + p = 0 \, $ dengan $ x_1 < x_2 $. Jika $ {}^2 \log \left( \frac{1}{3}x_1 \right) = -2 - {}^2 \log x_2 $ , maka $ \, 4x_1 + x_2 = .... $
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan kuadrat (PK) dan logaritma
*). Operasi akar-akar PK $ \, ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ 4x^2 - 7x + p = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $.
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{p}{4} \, $ ....pers(i)
*). Menyelesaikan logaritmanya untuk menentukan nilai $ p $
$ \begin{align} {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1) & = -2 - {}^2 \log x_2 \\ {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1) + {}^2 \log x_2 & = -2 \\ {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1.x_2) & = -2 \\ (\frac{1}{3}x_1.x_2) & = 2^{-2} \\ (\frac{1}{3}. \frac{p}{4}) & = \frac{1}{4} \\ p & = 3 \end{align} $
Sehingga PK menjadi : $ 4x^2 - 7x + p = 0 \rightarrow 4x^2 - 7x + 3 = 0 $ .
*). Menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran :
$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 3 & = 0 \\ (4x-3)(x-1) & = 0 \\ x = \frac{3}{4} \vee x & = 1 \end{align} $
Karena $ x_1 < x_ 2 \, $ maka $ x_1 = \frac{3}{4} \, $ dan $ x_2 = 1 $.
*). Menentukan hasil $ 4x_1 + x_2 $ :
$ 4x_1 + x_2 = 4. \frac{3}{4} + 1 = 3 + 1 = 4 $
Jadi, nilai $ 4x_1 + x_2 = 4 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar