Pembahasan Polinomial Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suku banyak $ P(x) \, $ jika dibagi dengan $(x^2 - 2x) $ sisanya $ 2 - 3x \, $ dan jika dibagi $(x^2+x-2) \, $ sisanya $ x+ 2 $. Jika $P(x) $ dibagi dengan $(x^2-3x+2)$, maka sisanya adalah ....
A). $ x - 10 \, $ B). $ -x+10 \, $
C). $ -7x - 10 \, $ D). $ 7x-10 \, $
E). $ -7x+10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Suku Banyak atau polinomial
*). Teorema sisa
$ \frac{f(x)}{x-a} \rightarrow \text{ sisa } = f(a) $
artinya sisanya diperoleh dengan mengganti $ x = a \, $ yaitu akar dari pembaginya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Pertama : $P(x) : (x^2 - 2x) \, $ bersisa $(2-3x) $.
$ \frac{P(x)}{x^2-2x} = \frac{P(x)}{x(x-2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(0) \\ \text{sisa} = P(2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ 2-3x \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(0) \rightarrow P(0) = 2 - 3 \times 0 \rightarrow P(0) = 2 $
$ \text{sisa} = P(2) \rightarrow P(2) = 2 - 3 \times 2 \rightarrow P(2) = -4 $
Kedua : $P(x) : (x^2 + x - 2) \, $ bersisa $(x+2) $.
$ \frac{P(x)}{x^2 + x - 2} = \frac{P(x)}{(x-1)(x+2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(1) \\ \text{sisa} = P(-2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ x + 2 \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(1) \rightarrow P(1) = 1 + 2 \rightarrow P(1) = 3 $
$ \text{sisa} = P(-2) \rightarrow P(2) = -2 + 2 \rightarrow P(-2) = 0 $

*). Menentukan sisa pembagian $ P(x) \, $ dengan $ x^2 -3x + 2 $ :
Karena pembaginya pangkat dua, maka sisanya pangkat satu. Misalkan sisanya adalah $ ax + b \, $ dan kita gunakan yang kita peroleh sebelumnya yaitu $ P(0)=2, \, P(2)=-4, \, P(1) = 3, \, P(-2) = 0 $.

$P(x) : (x^2 -3x + 2 ) \, $ bersisa $(ax+b) $.
$ \frac{P(x)}{x^2 -3x + 2 } = \frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(1) \\ \text{sisa} = P(2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ ax+b \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(1) \rightarrow P(1) = a.1 + b \rightarrow 3 = a + b \, $ ...(i)
$ \text{sisa} = P(2) \rightarrow P(2) = a.2 + b \rightarrow -4 = 2a + b \, $ ...(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} a + b = 3 & \\ 2a + b = -4 & - \\ \hline -a = 7 & \\ a = -7 & \end{array} $
Pers(i) : $ a + b = 3 \rightarrow -7 + b = 3 \rightarrow b = 10 $
Sehingga sisanya : sisa = $ ax+b = -7x + 10 $.
Jadi, sisa pembagian $P(x) $ oleh $ x^2 -3x + 2 $ adalah $ -7x+10 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar