Pembahasan Eksponen dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \, $ dan $ y \, $ positif memenuhi persamaan $ {}^2 \log (xy-2y) = 1 + {}^2 \log 5 \, $ dan $ \frac{3^{3x}}{9} = 3^{2y} , \, $ maka $ x + y = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Logartima :
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
sifat : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
*). Eksponen :
persamaan : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
sifat : $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
Pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log (xy-2y) & = 1 + {}^2 \log 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 2 \times 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 10 \\ xy-2y & = 10 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Kedua :
$ \begin{align} \frac{3^{3x}}{9} & = 3^{2y} \\ \frac{3^{3x}}{3^2} & = 3^{2y} \\ 3^{3x-2} & = 3^{2y} \\ 3x-2 & = 2y \\ y & = \frac{3x-2}{2} \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i)
$ \begin{align} xy-2y & = 10 \\ x \times \frac{3x-2}{2}-2 \times \frac{3x-2}{2} & = 10 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ (3x^2 - 2x) - 6x + 4 & = 20 \\ 3x^2 - 8x - 16 & = 0 \\ (3x + 4)(x-4) & = 0 \\ x = - \frac{4}{3} \vee x & = 4 \end{align} $
Yang memenuhi $ x = 4 \, $ karena yang diminta positif.
Pers(ii) : $ y = \frac{3x-2}{2} = \frac{3.4-2}{2} = \frac{10}{2} = 5 $
*). Menentukan hasil $ x + y $
$ \begin{align} x + y = 4 + 5 = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y = 9 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar