Pembahasan Limit Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{3}{ 2} \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ \infty $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Soal limit seperti pada pembahasan limit soal UM UGM matematika Dasar tahun 2016 kode 571 ini biasanya hasilnya berbentuk $ \frac{0}{0} \, $ dimana bentuk ini tidak diperbolehkan sehingga harus kita proses lagi pengerjaannya. Ada tiga cara yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan limit yaitu pemfaktoran, kali sekawan, dan menggunakan turunan (dalil L'Hopital). Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakan dua cara yaitu pemfaktoran dan turunan.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pemfaktoran :
$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $
Sehingga bentuk $ (x-8) \, $ bisa kita faktorkan menjadi :
$ x-8 = (\sqrt[3]{x})^3 - (2)^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) $
*). Turunan fungsi :
$ y = ax^n \, \rightarrow y' = n\times a x^{n-1} $
Sehingga turunan dari :
$ y = \sqrt[3]{x} = x^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $
*). Konsep limit menggunakan turunan
Jika $ \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} , \, $ maka $ \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f^\prime (x) }{g^\prime (x)} $ .
*). sifat eksponen : $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara I : Pemfaktoran
*). Bentuk $ (x - 8 ) = (\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 )}{1} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} ( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 ) \\ & = ( (\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 2^2) (\sqrt[3]{8} - 1 ) \\ & = ( (2)^2 + 2.2 + 4) (2 - 1 ) \\ & = 12 \times 1 \\ & = 12 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 12 . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Menggunakan Turunan
*). Turunan $ y = \sqrt[3]{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{1}{\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} 3x^{\frac{2}{3}} \\ & = (\sqrt[3]{8} - 1 ) \times 3\times 8^{\frac{2}{3}} \\ & = (2 - 1 ) \times 3\times 4 \\ & = 1\times 3\times 4 \\ & = 12 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 12 . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan
untuk menghitung nilai $ 8^{\frac{2}{3}} \, $ kita gunakan sifat eksponen yaitu :
$ 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{ 3 \times \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 $ .



Tidak ada komentar:

Posting Komentar