Pembahasan Penggunaan Turunan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva fungsi $ f(x) = x^4 + 2x^3 \, $ mencapai minimum di titik $ (\alpha , \beta ) \, $ maka $ \alpha - \beta = .... $
A). $ \frac{1}{16} \, $ B). $ \frac{3}{16} \, $ C). $ \frac{5}{16} \, $ D). $ \frac{7}{16} \, $ E). $ \frac{9}{16} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan
*). Nilai minimum fungsi $ y = f(x) \, $ pada saat $ x_1 \, $ memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $
*). Cek $ x_1 \, $ ke Turunan kedua :
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 , \, $ maka jenisnya minimum,
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 , \, $ maka jenisnya titik belok,
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 , \, $ maka jenisnya maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan syarat $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f(x) & = x^4 + 2x^3 \\ f^\prime (x) & = 4x^3 + 6x^2 \\ \text{syarat } f^\prime (x) & = 0 \\ 4x^3 + 6x^2 & = 0 \\ 2x^2 (2x+3) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = -\frac{3}{2} \end{align} $
*). Cek turunan kedua :
$ f^\prime (x) = 4x^3 + 6x^2 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 + 12x $
$ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0^2 + 12.0 = 0 $
artinya di $ x = 0 \, $ adalah titik belok.
$ x = -\frac{3}{2} \rightarrow f^{\prime \prime } (-\frac{3}{2} ) = 12.(-\frac{3}{2} )^2 + 12.(-\frac{3}{2} ) = 3 $
artinya di $ x = -\frac{3}{2} \, $ adalah minimum.
*). Menentukan titik minimum :
$ x = -\frac{3}{2} \rightarrow f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^4 + 2.(-\frac{3}{2})^3 = - \frac{27}{16} $
artinya titik minimumnya yaitu :
$ (\alpha , \beta) = (-\frac{3}{2}, - \frac{27}{16} ) $
*). Menentukan nilai $ \alpha - \beta $ :
$ \alpha - \beta = -\frac{3}{2} - ( - \frac{27}{16} ) = \frac{3}{16} $
Jadi, nilai $ \alpha - \beta = \frac{3}{16} . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar