Pembahasan Garis Singgung Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung kurva $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} \, $ di titik $(3,1) \, $ sejajar sumbu-X, maka $ p+q = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis singgung kurva $ y = f(x) \, $ di titik $(x_1,y_1)$ adalah $ m = f^\prime (x_1) $
*). Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Garis yang sejajar sumbu X memiliki gradien nol.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime V - U V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik (3,1) ke fungsi $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} $
$ \begin{align} (x,y) = (3,1) \rightarrow y & = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} \\ 1 & = \frac{p.3-q}{(3-1)(3-2)} \\ 1 & = \frac{3p-q}{2} \\ 3p - q & = 2 \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} = \frac{px-q}{x^2 - 3x + 2} \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime V - U V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{p(x^2 - 3x + 2) - (px-q)(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^2} \\ & = \frac{p(x-1)(x-2) - (px-q)(2x - 3)}{[(x-1)(x-2)]^2} \end{align} $
*). Gradien garis singgung di (3,1) adalah nol
$ \begin{align} m & = 0 \\ f^\prime (3) & = 0 \\ \frac{p(3-1)(3-2) - (p.3-q)(2.3 - 3)}{[(3-1)(3-2)]^2} & = 0 \\ \frac{2p - (3p-q).(3)}{[(3-1)(3-2)]^2} & = 0 \\ 2p- 3(3p-q) & = 0 \, \, \, \, \text{dari (i)} \\ 2p- 3.(2) & = 0 \\ 2p & = 6 \\ p & = 3 \end{align} $
*). Dari Pers(i) :
$ 3p - q = 2 \rightarrow 3.3 - q = 2 \rightarrow q = 7 $
Sehingga nilai $ p + q = 3 + 7 = 10 $ .
Jadi, nilai $ p + q = 10 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar