Kode 371 Pembahasan Garis Singgung Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis lurus yang menyinggung kurva $ y = \sqrt[3]{6-x} \, $ di titik $ x = -2 \, $ akan memotong sumbu X di titik ....
A). $ (18,0) \, $ B). $ (19,0) \, $ C). $ (20,0) \, $ D). $ (21,0) \, $ E). $ (22,0) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis Singgung Kurva berkaitan Turunan
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) \, $ di titik $(x_1,y_1)$ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik singgung $(x_1,y_1) $ dengan substitusi absis $(x = -2)$ :
$ \begin{align} x = -2 \rightarrow y & = \sqrt[3]{6-x} \\ y & = \sqrt[3]{6-(-2)} \\ y & = \sqrt[3]{8} \\ y & = 2 \end{align} $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (-2, 2) $
*). Menentukan turunan fungsi kurvanya :
$ \begin{align} y & = \sqrt[3]{6-x} \\ y & = (6 - x)^\frac{1}{3} \\ y^\prime & = \frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } . (-1) \\ y^\prime & = -\frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } \end{align} $
Sehingga $ f^\prime (x) = -\frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } $ .
*). Menentukan gradien di titik $ (x_1,y_1) = (-2,2) $
$ \begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ & = f^\prime (-2) \\ & = -\frac{1}{3}(6 - (-2))^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(8)^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(2^3)^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(2)^{-2 } \\ & = -\frac{1}{3} . \frac{1}{2^2} \\ & = -\frac{1}{12} \end{align} $
*). Menentukan PGS kurva di $(-2,2) $ dengan gradien $ m = -\frac{1}{12} $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 2 & = -\frac{1}{12}(x-(-2)) \\ y - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \end{align} $
*). Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ 0 - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ 24 & = (x+2) \\ x & = 22 \end{align} $
Jadi, titik potong sumbu X nya adalah $ (22,0). \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar