Kode 371 Pembahasan Luas Minimum Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Luas minimum segitiga yang dapat dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan sumbu-sumbu koordinat adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 26 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} $
*). Persamaan garis lurus yang memotong sumbu X dan sumbu Y seperti gambar berikut ini :
Persamaan garisnya adalah : $ ax + by = ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Membuat segitiga dengan garis lurus melalui titik (4,3) dan memotong sumbu-sumbu :

Kita misalkan panjang alas segitiga AOB adalah $ b $ dan tinggi segitiganya adalah $ a $.
Sehingga persamaan garis lurusnya :
$ ax + by = ab $
*). Substitusi titik (4,3) yang dilalui oleh garis :
$ \begin{align} (x,y)=(4,3) \rightarrow ax + by & = ab \\ 4a + 3b & = ab \\ 4a & = ab - 3b \\ 4a & = b(a - 3) \\ b & = \frac{4a}{a-3} \end{align} $
*). Luas segitiga AOB :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{4a}{a-3} \times a \\ & = \frac{2a^2}{a-3} \\ f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} \end{align} $
*). Menentukan turunan $ f(a) $ :
$ \begin{align} f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} = \frac{U}{V} \\ U & = 2a^2 \rightarrow U^\prime = 4a \\ V & = a - 3 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (a) & = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{4a.(a-3) + 2a^2. 1}{(a-3)^2} \\ & = \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} \\ \end{align} $
*). Syarat minimum : turunan pertama = 0
$ \begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} & = 0 \\ 2a^2 - 12a & = 0 \\ 2a(a - 6) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 6 \end{align} $
yang memenuhi $ a = 6 $ karena panjang tidak nol.
Sehingga : $ b = \frac{4a}{a-3} = \frac{4 . 6}{6-3} = 8 $
Artinya luas segitiga AOB akan minimum pada saat $ a = 6 $ dan $ b = 8 $.
*). Menentukan Luas Minimum segitiga
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \\ & = 24 \end{align} $
Jadi, luas segitiga minimumnya adalah 24. $ \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar