Kode 371 Pembahasan Limit Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} = -4$, maka nilai $ a + b \, $ adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(k)}{g(k)} = \frac{f(k)}{0} = \infty $.
Agar $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} \, $ hasilnya tidak tak hingga ($\infty$), maka limitnya harus bentuk tak tentu yaitu hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ sehingga $ f(k) = 0 $.
*). Limit bentuk tak tentu $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ dapat diselesaikan dengan L'Hospital (menggunakan turunan) yaitu :
$ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
Persamaan Pertama :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} & = -4 \\ \frac{(-1)^2+a(-1)+b}{(-1)^2+3(-1)+2} & = -4 \\ \frac{1-a+b}{1 -3+2} & = -4 \\ \frac{1-a+b}{0} & = -4 \, \, \, \, \, ...(1) \end{align} $
Agar nilai limitnya $ - 4 \, $ maka haruslah bentuk limitnya bentuk tak tentu agar bisa diproses lagi sehingga hasil limitnya menjadi $ -4 $. Agar menjadi bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} \, $ maka dari (1) di atas haruslah $ 1 - a + b = 0 $.
Sehingga : $ 1 - a + b = 0 \rightarrow -a + b = -1 \, $ ...pers(i).

Persamaan kedua :
Karena bentuk tak tentu, maka bisa kita terapkan dalil L'Hospital (turunan),
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} & = -4 \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{2x+a}{2x+3} & = -4 \\ \frac{2(-1)+a}{2(-1)+3} & = -4 \\ \frac{-2+a}{1} & = -4 \\ -2+a & = -4 \\ a & = -4 + 2 \\ a & = -2 \end{align} $
Pers(i) : $ - a + b = -1 \rightarrow -(-2) + b = -1 \rightarrow b = -3 $.
*). Menentukan hasilnya :
$ a + b = (-2) + (-3) = -5 $.
Jadi, nilai $ a + b = -5. \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar