2010 Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk $ a $, titik P pada perpanjangan DH sehingga $ DP = 2DH $. Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A). $ \frac{2a}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}a\sqrt{3} \, $ D). $ a \, $ E). $ \frac{3a}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema Pythagoras :
Misalkan segitiga siku-siku ABC dengan $ a $ dan $ b $ masing-masing sisi siku-sikunya serta $ c $ adalah sisi miringnya, maka berlaku teorema pythagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). Misalkan ternyata segitiga FPO buka segitiga siku-siku, maka cara pertama (menggunakan perbandingan luas) tidak bisa kita terapkan. Sehingga kita terapkan cara kedua berikut ini.
*). Ilustrasi gambar :
 

Jarak titik F ke bidang PAC sama dengan jarak F ke garis PO yaitu panjang FM.
*). Untuk perhitungan lainnya secara lengkap silahkan teman-teman baca Cara pertama.
*). Menentukan panjang $ x $ dari $\Delta PFM $ dan $ \Delta OFM $ :
$ \begin{align} FM^2 \, pada \, \Delta PFM & = FM^2 \, pada \, \Delta OFM \\ PF^2 - PM^2 & = FO^2 - MO^2 \\ (a\sqrt{3})^2 - x^2 & = (\frac{1}{2}a\sqrt{6})^2 - (\frac{3}{2}a\sqrt{2} - x)^2 \\ 3a^2 - x^2 & = \frac{6}{4}a^2 -(\frac{18}{4}a^2 - 3ax\sqrt{2} + x^2) \\ 3a^2 - x^2 & = \frac{6}{4}a^2 - \frac{18}{4}a^2 + 3ax\sqrt{2} - x^2 \\ 3a^2 & = - \frac{12}{4}a^2 + 3ax\sqrt{2} \\ 3a^2 & = - 3a^2 + 3ax\sqrt{2} \\ 3ax\sqrt{2} & = 6a^2 \\ x & = \frac{6a^2}{3a\sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan panjang FM dari $\Delta PFM $ :
$ \begin{align} FM^2 & = PF^2 - PM^2 \\ FM & = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - (a\sqrt{2})^2 } \\ & = \sqrt{3a^2 - 2a^2 } \\ & = \sqrt{a^2 } = a \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ a . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar