2010 Pembahasan Lingkaran UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Syarat agar garis $ ax + y = 0 $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(-1,3)$ dan jari-jari 1 adalah $ a = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Syarat Garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan lingkaran :
dengan pusat $(a,b) = (-1,3) $ dan $ r = 1 $,
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2 + (y-3)^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2 + (y-3)^2 & = 1 \end{align} $
*). Substitusi persamaan garis $ ax + y = 0 \rightarrow y = -ax $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} (x+1)^2 + (y-3)^2 & = 1 \\ (x+1)^2 + (-ax-3)^2 & = 1 \\ x^2 + 2x + 1 + a^2x^2 + 6ax + 9 & = 1 \\ (a^2 + 1)x^2 + (6a+2)x + 9 & = 0 \end{align} $ .
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & = 0 \\ (6a+2)^2 - 4(a^2+1).9 & = 0 \\ 36a^2 + 24a + 4 - 36a^2 - 36 & = 0 \\ 24a - 32 & = 0 \\ 24a & = 32 \\ a & = \frac{32}{24} = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{4}{3} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar