2010 Pembahasan Dimensi Tiga UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk $ a $, titik P pada perpanjangan DH sehingga $ DP = 2DH $. Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A). $ \frac{2a}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}a\sqrt{3} \, $ D). $ a \, $ E). $ \frac{3a}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema Pythagoras :
Misalkan segitiga siku-siku ABC dengan $ a $ dan $ b $ masing-masing sisi siku-sikunya serta $ c $ adalah sisi miringnya, maka berlaku teorema pythagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Jarak titik F ke bidang PAC sama dengan jarak F ke garis PO yaitu panjang FM.
*). Segitiga POD :
$\begin{align} PO & = \sqrt{PD^2 + DO^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{4a^2 + \frac{2}{4}a^2} \\ & = \sqrt{\frac{18}{4}a^2} = \frac{3}{2}a\sqrt{2} \end{align} $
*). Segitiga FBO :
$\begin{align} FO &= \sqrt{FB^2 + BO^2} \\ &= \sqrt{a^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{2})^2} \\ &= \sqrt{a^2 + \frac{2}{4}a^2} \\ &= \sqrt {\frac{6}{4}a^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6} \end{align} $
*). Segitiga FPH :
$ \begin{align} FP & = \sqrt{HP^2 + HF^2} \\ & = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga FPO, apakah siku-siku di F? kita cek dengan teorema Pythagoras :
$ \begin{align} PO^2 & = PF^2 + FO^2 \\ (\frac{3}{2}a\sqrt{2})^2 & = (a\sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{6})^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = 3a^2 + \frac{6}{4}a^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = \frac{12}{4}a^2 + \frac{6}{4}a^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = \frac{18}{4}a^2 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Sehingga segitiga FPO siku-siku di F.
*). Menentukan panjang FM dengan Luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas FPO alas PO} & = \text{ Luas FPO alas FO} \\ \frac{1}{2}. PO.FM & = \frac{1}{2}.FO . FP \\ PO.FM & = FO . FP \\ FM & = \frac{FO.FP}{FO} \\ & = \frac{\frac{1}{2}a\sqrt{6}. a\sqrt{3}}{\frac{3}{2}a\sqrt{2}} \\ & = \frac{a\sqrt{18}}{3\sqrt{2}} = \frac{a.3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = a \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ a . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar