2010 Pembahasan Persamaan Kuadrat UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu akar persamaan $ ax^2 - (a+5)x + 8 = 0 $ adalah dua kali akar yang lainnya. Apabila $ a_1 $ dan $ a_2 $ nilai-nilai yang cocok untuk $ a $, maka $ a_1 + a_2 = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 15 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 26 \, $ E). $ 32 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
Operasi penjulahan :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ ax^2 - (a+5)x + 8 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = 2x_2 $ (salah satu akar adalah dua akar yang lainnya).
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{-[-(a+5)]}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Substitusi $ x_1 = 2x_2 $ ke pers(i) :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ 2x_2 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ 3x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ x_2 & = \frac{a + 5}{3a} \end{align} $
*). Substitusikan $ x_2 = \frac{a + 5}{3a} $ ke PK :
$ \begin{align} ax^2 - (a+5)x + 8 & = 0 \\ a\left( \frac{a + 5}{3a} \right)^2 - (a+5)\left( \frac{a + 5}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ a\left( \frac{a^2 + 10a + 25}{9a^2} \right) - \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{9a } \right) - \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ (a^2 + 10a + 25) - 3(a^2 + 10a + 25) + 8.9a & = 0 \\ -2a^2 + 52a - 50 & = 0 \\ 2a^2 - 52a + 50 & = 0 \end{align} $
*). PK $ 2a^2 - 52a + 50 = 0 $ memiliki akar-akar $ a_1 $ dan $ a_2 $ :
$ \begin{align} a_1 + a_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-52)}{2} = 26 \end{align} $
Jadi, nilai $ a_1 + a_2 = 26 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar