Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P adalah titik tengah CG dan Q adalah titik tengah AP, seperti pada gambar. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke H adalah .... cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Panjang garis berat :
Garis berat adalah garis di dalam segitiga yang ditarik dari salah satu titik sudutnya dan membagi sisi de depannya menjadi dua sama panjang. Contohnya pada soal adalah garis HQ merupakan garis berat karena titik Q membagi sisi AP menjadi dua sama panjang (terletak di tengahnya).
*). Rumus panjang garis berat HQ pada segitiga AHP yaitu :
$ HQ^2 = \frac{1}{2}HA^2 + \frac{1}{2}HP^2 - \frac{1}{4}AP^2 \, $
atau dapat ditulis :
$ HQ = \sqrt{\frac{1}{2}HA^2 + \frac{1}{2}HP^2 - \frac{1}{4}AP^2} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang beberapa sisi :
-). Panjang $ AH = 6\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang/sisi)
-). Pada segitiga HGP :
$ HP=\sqrt{HG^2+GP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45} $
-). Pada segitga APC :
$ AP = \sqrt{AC^2+CP^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+3^2} = \sqrt{72+9} = \sqrt{81} = 9 $
*). Menentukan panjang HQ (jarak H ke Q) :
$\begin{align} HQ & = \sqrt{\frac{1}{2}HA^2 + \frac{1}{2}HP^2 - \frac{1}{4}AP^2} \\ & = \sqrt{\frac{1}{2}(6\sqrt{2})^2 + \frac{1}{2}(\sqrt{45})^2 - \frac{1}{4}.9^2} \\ & = \sqrt{\frac{72}{2} + \frac{45}{2} - \frac{81}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{144}{4} + \frac{90}{4} - \frac{81}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{153}{4}} = \sqrt{\frac{9 \times 17}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{3}{2}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar